Geometric Numeric Integration in Applications

I GeNuIn-prosjektet ser vi på simulering og modellering av flerlegemedynamikk og på problemer som oppstår innenfor biomedisinsk bildebehandling. Vårt hovedmål er å komme fram til mer nøyaktige og pålitelige datamaskinsimuleringer av de fysiske fenomenene vi studerer ved å utnytte kvalitative egenskaper ved de underliggende modellene. I det første phd.-prosjektet studerer vi kvalitativt korrekte og nøyaktige simuleringer for å legge ut rør på havbunnen fra skip. Problemet innebærer modellering av to vekselvirkende strukturer: et langt, tynt rør som beskrives som en elastisk stav, og et fartøy som modelleres som et stivlegeme. Systemet påvirkes av ytre krefter slik som bølger og vind. Kontrollparametrene for dette problemet er fartøyets posisjon og hastighet, utleggingshastigheten, og rørspenningen, mens målsetningen består i å bestemme nedslagsposisonen til røret samt å sikre seg at røret ikke skades eller utsettes for kritiske deformasjoner. Vi har sett på numeriske metoder for å løse disse ligningene. Med et valg av passende teknikker, kalt splittingsmetoder, transformerer vi problemet til et sett av mindre og enkere delproblemer som løses suksessivt. Vi bruker Jacobi's elliptiske funksjoner og Liegruppeintegratorer for å løse hvert delproblem. En viktig konsekvens ved vårt valg av numeriske metoder er at de dissipative egenskapene til det kontinuerlige systemet blir bevart. En postdoc har arbeidet med numeriske metoder for lignende mekaniske systemer og geometriske metoder for problemer med holonomiske og ikke-holonomiske føringer. I det andre phd.-prosjektet har vi sett på volumbevarende integrasjonsmetoder. Disse er interessante metodevalg i problemer med bilderegistrering, formtilpasning og formanalyse. Vi har utledet eksplisitte, volumbevarende metoder for polynomiske divergensfrie vektorfelt av vilkårlig grad. Metodene ser ut til å kunne konkurrerer med de beste av de som er kjent fra litteraturen. En annen klasse av volumbevarende integrasjonsmetoder har blitt utviklet ved å benytte genererende differensialformer og genererende funksjoner for volumbevarende avbildninger. Den andre postdoc'en har arbeidet med andre, men relaterte problemer i medisinsk bildebehandling.

In this project we will consider simulation and modelling of multi-body dynamics, nonholonomic systems, and problems arising in biomedical imaging. Our main scientific goal is to achieve more accurate and reliable numerical simulations of the considered physical phenomena by exploiting the qualitative properties of the underlying models. Our starting point are models with an underlying geometric structure. Our research team has been in the international forefront in the development of geometric integ ration algorithms over the last 16 years. We are convinced that the exploitation of this knowledge in a more applied problem setting will lead to significant advance in the considered applications and give new insight for the design of superior numer ical strategies.