Prosjektets mål er å bruke de matematiske modeller for flytende krystaller til å regne ut
hvordan bølger kan spre seg i slike media. Disse modellene er ikke-linære systemer av partielle
differensialligninger, og kan ikke løses ved en "formel". Derfor må man bruke numeriske
metoder får å oppnå en forståelse av hvordan krystallene oppfører seg. Dette er svært nært
forbundet med om modellen er "velstillt", dvs. om det er mulig å rigorøst definere en løsning av
differensialligningene, og om små variasjoner i f. eks. initialtilstanden eller i parametrene vil føre til
store forskjeller i løsningene.
Det siste året har vi arbeidet langs to hovedretninger. Den ene omhandler numerisk simulering av
modeller for bølger i flytende krystaller over et endelig område der det er restriksjoner på hvordan
krystallene orienterer seg på randen av omårdet, Dette er et problem av stor praktisk betydning,
siden moderne LDC skjermer består av mange små kamre med flytende krystaller hvor man styrer
orienteringen ved hjelp av å styre krystallene på randen. Her har vi utviklet numeriske metoder
reproduserer eksperimentielle resultater for ikke trivielle bølger.
Den andre hoveretningen omhandler konvergens av numeriske metoder for ikke-lineære
bølgeligninger som ?ligner på? de modeller for flytende krystaller. Med ligner på menes at de har
visse av, men ikke alle, egenskapene som modellene for flytende krystaller har. Her har vi vist
konvergens av numeriske skjemaer for flere slike ligninger. Håpet er at disse resultatene vil hjelpe
oss til å vise tilsvarende resultater for de fulle modellene.
Modeling using elastic continuum theory and the Oseen-Franck free energy density, the equations describing waves in stationary liquid crystals are second order nonlinear wave equations. We aim to
study these equations under various assumptions; planar on e-dimensional waves, planar two-dimensional waves, general one-dimensional waves, etc. We aim at establishing a mathematical theory for well-posedness of the initial value problem for these equations, both in the case of artificial and of physical wave sp eed functions. Furthermore, we shall study the convergence of numerical methods for these models. We also aim at developing accurate higher order numerical schemes (e.g. based on finite volume approximations) for variational waves.