Dirichlet Series and Analysis on Polydiscs

Prosjektet har utviklet et forskningsområde som spenner over analytisk tallteori, operatorteori og kompleks og harmonisk analyse. Det sentrale problemet som ligger til grunn for denne forskningen, dreier seg om å oppnå en bedre forståelse av hvordan primtallene er fordelt. I 2014 løste medarbeidere i prosjektet et nesten 30 år gammelt problem angående såkalte GCD-matriser, nært forbundet med veksten til Riemanns zeta-funksjon på den kritiske linjen. Dette arbeidet ledet til et nytt nedre estimat for veksten av Riemanns zeta-funksjon, som er første vesentlige forbedring siden 1977. Senere i perioden ble en lignende teknikk brukt til å gi forbedrede estimat for argumentet til zeta-funksjonen, hvilket er relatert til fordelingen av de ikke-trivielle nullpunktene og, via en klassisk dualitet, til fordelingen av primtallene. Arbeidet med å bedre forståelsen av Riemanns zeta-funksjon pågår fremdeles, noe som gir forhåpninger om ytterligere forbedringer i fremtidige prosjekter. Andre resultater dreier seg om forståelsen av grunnleggende operatorer som virker på rom av Dirichlet-rekker. Et eksempel på en slik operator er en multiplikativ versjon av Hilberts klassiske matrise. Den fremkommer på en naturlig måte som matrisen til en integraloperator som involverer Riemanns zeta-funksjon. I 2016 ferdigstilte prosjektet et første studium av en annen type grunnleggende operatorer, nemlig såkalte Volterra-operatorer, som fremviser et nytt og ukonvensjonelt samspill mellom rom av holomorfe funksjoner og tallteori. Prosjektet har i den senere tid studert kontraktive ulikheter og anvendelser av disse med sikte på å oppnå forbedrede estimat for pseudomomenter til Riemanns zeta-funksjon.

-

The proposal addresses major problems concerning Hardy spaces of Dirichlet series, boundary limits of Dirichlet series, the interplay between complex analytic methods, probabilistic techniques, and analytic number theory in the study of Dirichlet series a nd Dirichlet polynomials, function theory in polydiscs, and harmonic analysis and operator theory on the infinite-dimensional torus. The proposal will - search for novel concepts and methods required to solve some of the basic problems of operator-related function theory and harmonic analysis on the infinite-dimensional torus - direct efforts to significantly strengthen the interplay between the different research directions involved in the project.