Stochastic Partial Differential Equations with Irregular Drift Coefficients

Matematisk forståelse og beskrivelse av fluider omtales ofte som den største nåværende utfordringen innen matematikk og matematisk fysikk. Vesker som strømmer kan utvikle irregulære virvler som man ofte kaller turbulens. I noen tilfeller vil denne turbulensen være så vanskelig å beskrive at det fra et modelleringsperspektiv kan være fordelaktig å simpelthen anta at det er noe tilfeldig som påvirker systemet, ofte kalt støy. Den utvilsomt mest populære modellen for strømning av vesker kalles Navier-Stokes likning. I dette prosjektet har det blant annet blitt fokusert på Navier-Stokes likning i 2 dimensjoner under påvirkning av støy. Sammenligner man den makroskopiske og den mikroskopiske modellene for fluider ser man at det er naturlig at støy opptrer på såkalt transport-form I Navier-Stokes, dvs multiplikativt. Siden støyet oppfører seg veldig irregulært er det ikke rimelig å anta at løsningen vil være mer regulær, hvertfall som en funksjon av tiden, og da er det ikke opplagt hvordan man definerer produktet av løsningen med støyet siden begge deler vil være såkalte distribusjoner, eller generaliserte funksjoner. Nylig utivklede teknikker muliggjør det heldigvis å tolke slike ledd i likningen ved hjelp av såkalt røff sti teori, og i prosjektet har disse formuleringene og teknikkene for første gang blitt brukt til å studere Navier-Stokes likning. En slik formulering har en annen fordel i at den gir umiddelbart stabilitet i støyet i motsetning til klassisk stokastisk teori der man bruker Ito kalkyle for å gi mening til leddene. En annen fordel er at man kan introdusere støy som har "hukommelse" i motsetning til klassisk teori hvor Markov egenskapen er en vanlig antagelse.

In recent years our group has studied the regularizing effect of Brownian noise on differential equations with irregular coefficients. In particular we have proved that for Stochastic Differential Equations (SDE's) with merely bounded and measurable drift coefficient, the solution has the nice property that it is Malliavin differentiable. Moreover, we where able to prove existence of a Sobolev-differentiable stochastic flow to these equations. This project will deal with extending these result to the infi nite-dimensional setting, i.e. Stochastic Partial Differential Equations (SPDE's). A group in Italy have recently (2011) proven that there exists unique strong solutions to SPDE's driven by cylindrical Brownian noise and a bounded and measurable drift. Ho wever, this result gives a solution for almost every initial condition, and thus is dependent on a measure on the underlying infinite dimensional space. This rules out the study of stochastic flows for the equation. I aim with this project to be able to p rove that there exists a unique solution to the equations for every initial conditions, and moreover that the solutions are Malliavin differentiable. This would be a more complete generalization of the famous results by Zvonkin and Veretennikov to the inf inite dimensional case.