Structure Preserving Integrators, Discrete Integrable Systems and Algebraic Combinatorics

Prosjektets hovedmål er å utvikle og analysere spesialiserte numeriske metoder for å finne tilnærmede løsninger til differensialligninger. Slike ligninger er de mest vanlige matematiske verktøyene for å beskrive dynamiske prosesser i naturvitenskap og ingeniørfag. Alle løsninger man finner er altså kun tilnærmelser til den virkelige løsningen, men prosjektet fokuserer på såkalte strukturbevarende metoder som tar spesielt hensyn til utvalgte kvalitative egenskaper som man vet a priori at den søkte løsningen har. Eksempler på dette kan være energi- eller impulsbevaring, bevaring av volum, eller bevaring av dissipasjon. Det er velkjent at slike strukturbevarende numeriske metoder ofte gir løsninger med gode kvalitative egenskaper, som for eksempel deres oppførsel over veldig lang tid. Eksempler der slike egenskaper er helt avgjørende er simulering av vårt solsystem eller i klimamodellering. En ny dimensjon i prosjektet er bruken av verktøy og resultater fra to andre områder av matematikken, kalt diskrete integrable systemer og algebraisk kombinatorikk. Prosjektet vil utvikle åpent tilgjengelig programvare. I prosjektet tas det sikte på å etablere et nettverk av yngre forskere som har tilknytning til Norge blant annet med tanke på framtidig rekruttering til stillinger i universitetssektoren og norsk forskning forøvrig. For å bygge nettverk er møtearenaer viktig. Hver vinter arrangerer prosjektet en vinterworkshop med sosial og faglig aktivitet. Denne kalles MaGIC og inkludere alltid studenter og forskere i prosjektet samt en del gjester fra inn og utland. Utover dette deltar prosjektmedarbeiderne med foredrag på mange internasjonale konferanser, kanskje de to viktigste er SciCADE- og FoCM-konferansene. I kjølvannet av SPIRIT har sentrale aktører i prosjektet gått sammen om parallelle aktiviteter i to EU-prosjekter i henholdsvis det syvende rammeprogram og Horizon 2020, det dreier seg om innvilgede prosjekter kalt CRISP og CHiPS hhv av typen IRSES og RISE. Det har framkommet mange viktige nye resultater i prosjektet innenfor algebraisk kombinatorikk. For eksempel har det blitt utviklet en fullstendig karakterisering av rekkeutviklinger av numeriske metode i såkalte B-serier i den forstand at det er kjent nøyaktig hvilke numeriske metoder som har slike serier. En delmengde av alle slike serier er kjent som Butcher-gruppen. Et resultat i prosjektet er at denne gruppen faktisk er en Liegruppe. I en masteroppgave er det laget programvare som kan gjøre kalkulasjoner med denne typen algebraiske strukturer. I det siste året har disse nye teoriene også kommet til anvendelse for en type stokastiske prosesser kalt «rough paths». Når det gjelder bevaring av førsteintegraler, slik som for eksempel energi og impuls, har det vært en rekke nye resultater i prosjektet. Mange nye egenskaper ved Kahan-metoden for kvadratiske vektorfelt er avdekket, og omfanget av kjente integrable avbildninger er økt betraktelig takket være dette prosjektet. Kahan?s metode ble nylig generalisert til polynomiske vektorfelt av høyere grad. Dette har ledet til enda flere integrable avbildinger som inntil nå har vært ukjent. Integralbevarende numeriske skjema for PDE på bevegelig gitter har blitt utviklet. Metoder for formanalyse (shape analysis methods) har blitt populære i de siste årene. Opprinnelig ble disse utviklet for planare kurver, men er nå blitt utvidet til kurvere i høyere dimensjoner, flater, karakterbevegelser og mange andre typer objekter. Det er blitt utviklet et rammeverk for formanalyse av kurver på Liegrupper, og de resulterende metodene har vært anvendt på problemer i computeranimasjon. En aktivitet i prosjektet er bildeprosessering ved bruk av energiminimaliseringsmodeller der numerisk dissipative metoder har blitt utviklet for å søke etter minima. Nylig ble det gjort vesentlige framskritt ved anvendelse av metoder studert og utviklet i prosjektet for bildebehandling. I de siste par årene er strukturbevarende modellreduksjon blitt en del av prosjektet. Det er velkjent, og av stor betydning, at store og komplekse prosesser ofte kan simuleres med lave beregningskostnader fordi man kan identifisere et underrom av lav dimensjon som en tilnærmelse til løsningen tilhører. I prosjektet er denne reduksjonen gjort på en strukturbevarende måte, slik at vesentlige geometriske egenskaper bevares også etter at modellen er blitt redusert.

Prosjektets effekt og virkning kan i hovedsak knyttes til to hovedkategorier. Det ene er utvikling av unge forskertalenter der en doktorstudent har avlagt sin doktorgrad og er nå forsker i SINTEF. Postdocstipendiaten er fast ansatt som førsteamanuensis ved NTNU Gjøvik. Det andre og mest omfattende er nettverksbygging. Dette har ikke minst vært rettet mot unge forskere som prosjektet på ulike måter har støttet i å skape et internasjonalt kontaktnett, dette går langt utover de som har hatt rekrutteringsstillinger i prosjektet. Konkrete oppnådde mål er: 1 forsker kom til andre runde i ERC Advanced Grant. NTNU ble partner i det store ETN-prosjektet THREAD. En prosjektdeltaker ble arrangør av et spesialsemester innen prosjektets område ved Isaac Newton instituttet i Cambridge, UK, som hadde en betydelig deltakelse fra prosjektets medarbeidere. Prosjektets deltakere har produsert et høyt antall artikler og gitt foredrag ved viktige internasjonale konferanser.

SPIRIT is a basic research project aimed at developing new numerical methods for solving differential equations, a particular focus will be on structure preserving, geometric integration methods. The Norwegian partners of this project are The Norwegian Un iversity of Science and Technology (NTNU) and the University of Bergen (UiB). The project will uncover new links between numerical analysis, discrete integrable systems and algebraic combinatorics. The research will be of mutual benefit and contribute to discover new directions of research in all three of these fields of mathematics. This project should be seen in the context of an emerging trend where new branches of mathematics enter applications. We see a potential for developing brand new mathematica l tools to meet the upcoming challenges of science and engineering. Validation of theoretical results in applications will be an important activity in the project, some selected application areas, like structure preserving image processing, will be given a stronger focus. Symbolic and numerical software will be developed. Under this overarching scientific aim the project will facilitate the recruitment of the next generation mathematicians to Norwegian universities by developing a network of young mathema ticians in pursuit of an academic career in computational mathematics.