FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek

Overraskende jevnlig skjer det at arbeid med å gi sofistikerte svar på et grunnleggende spørsmål fører til viktige utviklinger: Hvorfor puster vi? Hva skjer det inne i en vannstrøm? Hvordan kan vi modellere fysiske systemer hvor rekkefølgen på to etterfølgende målinger har innflytelse på svaret? Det siste spørsmålet førte til teorien for C*-algebraer som sprang ut av Heisenbergs modell for matrise-mekanikk fra 1920-tallet. En ledetråd for forskere i C*-algebra teori er å ta utgangspunkt i bestemte data av matematisk art og fra dette forsøke definere objekter, mer presist C*-algebraer, som er mulig å studere og som reflekterer tilbake på de opprinnelige dataene. Som eksempel kan man ta såkalt rotasjon på en sirkel. Hvis vi tenker på sirkelen som [0,1] hvor de to endepunktene limes sammen, da tilsvarer rotasjon på sirklen med en bestemt vinkel det samme som å legge til et reelt tall r, hvor addisjon skal forstås på en slik måte at resultatet ikke forlater intervallet. I 1981 beviste Rieffel at tallet r kan gjenfinnes på en bestemt måte ut fra en tilknyttet C*-algebra. Dette prosjektet undersøker irreversible dynamiske systemer av større kompleksitet som springer ut fra flere transformasjoner. Et enkelt eksempel på den nye kompleksitetet kan gis ved å erstatte rotasjon på sirklen med det å ta andre og tredje potens. Selv om dette er et elementært dynamisk system, kan overraskende fenomener oppstå, som Furstenberg oppdaget i 1967. Hans resultater om topologiske egenskaper av lukninger av baner førte til hans formodning om en bestemt form for rigiditet for invariante sannsynlighetsmål. For å se om og hvordan C*-algebraiske modeller kan være til hjelp for å bevise Furstenbergs formodning har prosjektet som formål å foreta en grundig undersøkelse av flere C*-algebraer som oppstår naturlig i tilknyting til slike dynamiske systemer. Videre vil denne undersøkelsen bli foretatt for mer generelle dynamiske systemer og resultatene vil ha relevans for flere fagfelt. Dette prosjektet har gjort betydelige bidrag til etableringene av en ny forskningslinje "C*-algebraer av høyre LCM monoider". Etter starten fra dynamiske systemer byggt fra injektive endomorphismer av grupper, ble rammen senere skiftet til høyre LCM monoider som er den riktige (og mer generelle) innstillingen, hvor slående resultater ble oppnådd på - konsistensen av de ulike måtene å knytte C*-algebraer til de opprinnelige dataene; - påvisning av interne strukturer av høyre LCM monoider som er viktig for egenskapene til C*-algebraene; - bestemmelsen av en klassifiseringsinvariant (topologisk K-teori), som fører til en intrikat formodning relatert til høyere grafer; og - klassifiseringen av likevektstilstander (såkalte Kubo-Martin-Schwinger-tilstander) for dynamiske systemer, hvor, i mangel av et tilstandsrom, representerer C*-algebraen ensemblet av observerbare data. Som en bivirkning av prosjektet, oppdager vi en økende felles interesse for samarbeid mellom semigruppeteoretikere og C*-algebraikere. Sett i sammenheng med de siste fremskrittene i studien av C*-algebraer assosiert med små kategorier med venstre kansellering, gir en stor andel av resultatene indikasjoner på hva som kan være sant i denne meget brede innstillingen. Prosjektlederen er takknemlig til Norges forskningsråd for støtte til prosjektet. Han håper at RCN er fornøyd med sin ytelse og vil vende tilbake til sin lange tradisjon for et balansert spektrum over hypotetiske grenser for anvendt og teoretisk forskning for bærekraftens og langdistansens påvirkning som kanskje ikke kan måles i proksimal produkter til samfunnet.

Outcomes: 1) The workgroup has become a vibrant hub for research on operator algebras in connection with semigroups and groupoids. 2) Professor Nadia S. Larsen and the project manager became key figures behind the establishment of the research line "operator algebras of right LCM monoids" with many opportunities for further research. 3) The project manager gained valuable experience with regards to international experience, project management, organization of scientific events, forging new alliances & collaborations, and prioritization of tasks and targets. Impact: 1) The workgroup's global scientific network has been strengthened and expanded, in particular with respect to the nodes in Australia(Sydney,Wollongong,Newcastle), Canada(Victoria), and UK(Edinburgh,Glasgow). 2) The project's results suggest that a stronger interdisciplinary exchange between operator algebraists, semigroup theorists, and groupoidists would bear the potential for great advances.

Surprisingly often, an elementary question triggers important development in search for sophisticated answers to it, for example: Why do we breathe? What happens inside a water stream? How can we model physical systems where the order of two successive measurements affects the outcome? The last question lead to the theory of C*-algebras arising from Heisenberg's matrix mechanics in the 1920s. It is a guiding theme for C*-algebraists to start from certain mathematical data and aim at constructing tractable objects which reflect key features of the initial data. For example, one can look at rotations of the circle. Thinking of the circle as the interval [0,1] with the endpoints glued together, rotation by some angle is nothing but adding a certain real number r modulo 1. This setting really is interesting for irrational r. In 1981, Rieffel basically showed that r can be recovered from its C*-algebra. While this is an example with a single, reversible transformation, this project focuses on irreversible transformations. Moreover, we are interested in dynamical systems whose complexity increases significantly when multiple transformations are involved. A first example for this is given by replacing rotation on the circle by squaring and cubing. Basically, this is the same as multiplying integers by two and three. Already for such elementary systems, surprising phenomena occur as observed by Furstenberg in 1967. His results on topological properties related to orbit closures made him conjecture a rigidity of invariant probability measures. This conjecture is still open despite the efforts of many experts in the field. In order to understand in how far C*-algebraic models may help to resolve the Furstenberg conjecture, this project aims at a careful examination of several C*-algebras that are quite natural to consider for such a dynamical system. But the analysis is carried out for more general dynamical systems and the results are of interest for different disciplines.