Positivity and geometry of higher codimension subvarieties

Mange fenomener i matematikk og naturvitenskap kan beskrives ved systemer av polynomlikninger, og algebraisk geometri er fagfeltet som studerer geometrien til løsningene til slike systemer. Disse løsningsmengdene kalles 'algebraiske varieteter'. Et enkelt eksempel er likningen x^2+y^2+z^2-1=0 der løsningene beskriver en 2.gradsflate (en sfære). Når antallet variable og graden på polynomene øker blir typisk løsningsmengden svært kompliserte, og det er ikke mulig å finne eksakte løsninger. På en annen side, er det samtidig ofte tilstrekkelig i anvendelser å beskrive den geometriske formen av løsningssettet, f. eks. gjennom topologiske invarianter. Hovedmålet med prosjektet er å utforske hvordan geometrien til en algebraisk varietet gjenspeiles i dens undervarieter med visse spesielle egenskaper. Mer presist studeres undervarieteter som er 'positive' i den forstand at de har positive snitttall med andre undervarieteter. Et klassisk ekspempel her er gitt ved Lefschetz' hyperplanteorem, som sier at kohomologigruppene til en projektiv varietet er nært knyttet til kohomologigruppene til et hyperplansnitt. Teorien om positive undervarieteter fører raskt til dype spørsmål innen Hodge teori og algebraiske sykler. For eksempel er det et viktig og vanskelig problem å bestemme om en gitt heltallig kohomologiklasse er representert av en algebraisk undervarietet. Dette er essensielt "Hodge-formodningen over heltallene", eller "Integral Hodge conjecture (IHC)". Dette er et sentralt problem i algebraisk geometri, som går tilbake til arbeidene til Hodge, Grothendieck, Atiyah og Hirzebruch på midten av 1900-tallet. Prosjektet har så langt ført til flere viktige fremskritt innen områdene positivitet, algebraiske sykler og Hodge-teori. Resultatene har videre blitt publisert i noen av de aller fremste matematiske tidskriftene. Her er noen eksempler: -- `Tropical degenerations and stable rationality' (med J. Nicaise). Utviklet nye obstruksjoner for rasjonalitet av varieteter. Som et korollar ga artikkelen et bevis for at generelle kvartiske 5-foldigheter er irrasjonale, som var et uløst problem. -- Two coniveau filtrations (with O. Benoist). Brukte topologiske metoder til å konstruerte første moteksempler på et spørsmål av Grothendieck på 50-tallet on topologien til projektive varieteter. -- `Failure of the integral Hodge conjecture for threefolds of Kodaira dimension zero' (med O. Benoist) konstruerer de 'definitive' moteksemplene til den heltallige Hodge-formodningen, der varietenene kan ha en hvilken som helst mulig dimensjon, Kodaira-dimensjon og kodimensjon k-sykler. Spesielt viste disse moteksemplene at de eksisterende positive resultatene om IHC, av Totaro og Voisin, er optimale i en veldig presis forstand. -- `A pencil of Enriques surfaces with non-algebraic integral Hodge classes' (med F. Suzuki) omhandler heltallige Hodge klasser på Enriques-flate fibreringer, der Hodge formodningen forholder seg til et gammelt spørsmål fra J. P. Serre. Som en anvendelse av disse resultatene beviste vi en klassisk formodning av Murre om algebraiske sykler og Abel-Jacobi-avbildninger. -- `Curve classes on irreducible holomorphic symplectic varieties' (med G. Mongardi) beviser den heltallige Hodge-formodningen for irredusible holomorfe symplektiske varieteter. Som en konsekvens fant vi et nytt, enklere bevis på et dypt resultat av Voisin om sykler på kubiske firfoldigheter. -- `On subvarieties with ample normal bundle'. Beviste en formodning om Peternell om kurver med ampel normalbunt. -- `On deformations of quintic and septic hypersurfaces' (med S. Schreieder) Ga nye resultater om et gammelt problem av Mori om deformasjoner av hyperflater i projektive rom. -- `Positivity of the diagonal' (med B. Lehmann). Utforsker hvordan "positiviteten" til diagonalen til en varietet kan brukes til å klassifisere varianter. -- `A counterexample to the birational Torelli problem for Calabi-Yau 3-folds' (med J. V. Rennemo) gir de første moteksemplene til det såkalte 'Birational Torelli Problem' for Calabi-Yaut trefoldigheter. I tillegg har det vært flere relaterte gjennombrudd i arbeidene til postdokene knyttet til prosjektet. Vi nevner spesielt de fremdragende artikkelene -- `A proof of the Donaldson-Thomas crepant resolution conjecture' (av S. Beentjes, J. Calabrese, J. V. Rennemo) som løste en sentral formodning om Donaldson-Thomas invarianter. -- 'On the monodromy group of desingularized moduli spaces of sheaves on K3 surfaces' inneholder et meget imponerende resultat om formen på monodromigruppene til visse hyperkahler-manifolder. Spesielt løste artikkelen en formodning fra Markman. Resultatet som en overraskelse for mange, da det lenge var trodd at Markmans formodning var feil.

Prosjektet har ført til store fremskritt innen algebraisk geometri. For eksempel utviklet Nicaise-Ottem en ny teori for å vise at hyperflater er irrasjonale. Dette impliserte at 4.grads 5-foldigheter er irrasjonale, som var et kjent åpent problem. Videre løste Beentjes-Calabrese-Rennemo en kjent formodning i DT-teori. Resultatene har blitt publisert i tidsskrifter på det aller høyeste nivå og har vakt oppsikt internasjonalt. I prosjektet har vi samarbeidet med noen av de fremste forskningsmiljøene i algebraisk geometri i verden, bl.a. i Frankrike, England og USA. Dette har bidratt til å styrke algebragruppen ved UiO sin faglige posisjon, og forventes å ha positiv effekt på rekrutteringen til Norge og UiO i årene som kommer. Prosjektet har også fostret flere forskertalenter: Alle de involverte publiserte flere artikler under prosjektet, og har gått videre til gode forskerkarriærer. Prosjektet har vært uvanlig produktivt når det gjelder kommunikasjon av resultater.

The main goal of this 4-year research project is to explore and augment a relatively new development in the field of algebraic geometry, namely to study the geometric properties of algebraic varieties via their low-dimensional subvarieties. More precisely, we intend to study higher codimension effective cones, e.g. the positive span of effective cohomology classes. Our overlying question is the following: How do the various cones of subvarieties reflect the geometry of an algebraic variety? The motivation for this question comes from the fact that classically, the cones of curves (dimension 1) and divisors (codimension 1), have played fundamental roles in the classification theory of algebraic varieties. By exploring the geometry of these cones in intermediate (co)dimensions we hope to generalise this picture and shed light on several open problems in algebraic geometry. The project leader is one of the main contributors to this recent development, with several published papers on the subject. The project is divided into seven subprojects to explore the theme of higher codimension subvarieties in greater detail. In brief these subprojects involve studying effective 2-cycles on cubic fourfolds; connections between positive vector bundles and subvarieties; self-correspondences of surfaces; 1-cycles and symmetric differentials on Calabi-Yau 3-folds. In addition to contributing to a current development, all of these projects have the additional advantage that they revolve around classical problems and are therefore of interest also in many other contexts in algebraic geometry. For this, we intend to employ two postdocs at the University of Oslo and collaborate with several international experts in the field of algebraic geometry.