Expressing Validity by Revision: Formal and Philosophical Aspects

Filosofisk logikk som disiplin handler om å avklare hva som er logisk gyldig for ulike begreper, og en logisk teori er en samling argumenter som skal være logisk gyldige for et eller flere begreper. Da logisk gyldighet også er et begrep som argumenter kan være logisk gyldige for, kan en logisk teori inneholde argumenter som angår den logiske teorien selv, altså at den logiske teorien dermed handler om seg selv. Nyere forskning innen filosofisk logikk har argumentert for at en logisk teori som handler om seg selv burde inneholde argumenter som uttrykker det faktum at at hvis et argument er gyldig, så følger det at hvis premissene er sanne, så er konklusjonen sann. Den samme forskningen viser imidlertid at den mest naturlige måten å formalisere denne og lignende innsikter på er, sammen med visse antakelser om logiske teorier som blir tatt for gitt i for eksempel matematisk argumentasjon, tilstrekkelig til å kunne bevise enhver påstand, og logiske teorier som handler om seg vil dermed være ubrukelige da ethvert argument vil være gyldig. Den mest fremtredende konklusjonen har vært at en logisk teori kan bare handle om seg selv hvis vi gir slipp på en eller flere av disse antakelsene om logiske teorier. Formålet med dette prosjektet var å utvikle en alternativ tilnærming til å uttrykke i en logisk teori hvilke argumenter som er gyldige ifølge en logisk teori som er i tråd med innsiktene ovenfor og som kan anvendes på nesten enhver logisk teori uten at vi må gi slipp på ulike sentrale antakelser om hva en logisk teori er. Prosjektet utviklet med suksess både bevis-teoretiske og modell-teoretiske verktøy for å utvide en rekke logiske teorier med gyldige argumenter om den logiske teorien selv på en måte som resulterer i en beviselig konservativ utvidelse av den opprinnelige logiske teorien og som resulterer i en konsistent logisk teori hvis den opprinnelige logiske teorien er konsistent. Prosjektets hypotese om hvordan man kan definere logiske teorier som handler om dem selv uten paradoksale konsekvenser har dermed blitt bekreftet. Videre har det vist seg at verktøyene kan bli begrunnet fra et filosofisk perspektiv i gjennom det faktum at argumentene som legges til en logiske teorien for å få den til å handle om seg selv vil være begrepsmessig nøytral som følge av at den resulterende logiske teorien er en beviselig konservativ utvidelse av den opprinnelige logiske teorien.

Gitt at prosjektets målsetning og tema faller godt innenfor det som kan beskrives som grunnforskning, så er det særdeles vanskelig å si noe om hvilken betydning eller nytteverdi de publiserte resultatene kan ha, ikke bare fornæringslivet og samfunnet for øvrig, men også for forskningsfeltet. Dette er noe som bare kan sies noe om i ettertid, og vil avhenge av hvorvidt resultatene blir betraktet som viktige av andre forskere innenfor forskningsfeltet. Allikevel kan det sies at prosjektet's resultater har potensialet til å forme den videre filosofiske diskusjonen rundt prosjektets tema.

Can a theory of valid arguments represent which arguments are valid according to itself? New research in philosophical logic suggests that this can only be achieved if the theory is non-contractive, i.e. that multiple occurrences of the same premise cannot always be replaced with one occurrence of that premise in a valid argument. The aim of this project is to show that this conclusion is wrong by providing and justifying a new condition for when a theory represents which arguments are valid according to itself, and furthermore develop model-theoretic and proof-theoretic tools for augmenting theories with a predicate representing their valid arguments. To justify the new condition, the project will critically examine the reasons for adopting the paradoxical conditions, and show that the novel paradox-free condition satisfies the same reasons. It will focus on the intended inferential role of a predicate representing the valid arguments and the relationship between valid arguments and truth. The result will be an account of what is required to represent what is valid within a theory that has far-reaching consequences for research into semantic paradoxes and our understanding of theories of valid arguments themselves. The model-theoretic tool for theories definable on n-valued models will be developed by modifying transfinite revision sequences in ways that incorporate lessons from "possible world semantics" and the connection between conditions for being a premise and being a conclusion in a sound inference and the definition of a conditional. The proof-theoretic tool will be developed by modifying labelled sequent calculi for modal logics to simulate successor- and limit-stages of transfinite revision sequences. The extent to which the calculi can approximate such sequences is an open question, and the aim is that the tool can be applied on n-sided sequents to obtain a suitable tool mimicking the model-theoretic construction for each theory.