Combinatorial Methods in Analysis

Analyse er en gren av matematikken der man studerer ulike egenskaper til funksjoner, alt fra polynomer og elementære funksjoner av én variabel til løsninger av partielle differensialligninger eller kompliserte funksjoner i analytisk tallteori. Den grunnleggende ideen i harmonisk analyse er å finne hensiktsmessige måter å representere funksjoner på. Eksempler inkluderer harmoniske svingninger i signalbehandling og wavelet-dekomposisjoner i bildehandling. Vi har nylig hatt betydelig fremgang i vårt arbeid med geometrisk analyse av partielle differensialligninger og analytisk tallteori, noe som har ledet oss til å formulere et ambisiøst program for COMAN. Prosjektet er delt opp i fire retninger. Vi studerer kvantitative egenskaper til løsninger av elliptiske partielle differensialligninger som beskriver vibrasjoner i membraner. Oppførselen til Schrödinger-evolusjonen utgjør et annet tema; vi studerer evolusjon på diskrete strukturer som web-lignende grafer. Vi studerer Dirichlet-rekker og Riemanns zeta-funksjon, som forbinder tallteori og kompleks analyse. Det siste temaet i prosjektet er ikkeharmoniske Fourier-rekker og Meyer-kvasikrystaller. Fellesnevneren i vårt arbeid innenfor disse fire områdene er vår søken etter distinkte kombinatoriske strukturer og enkle byggeklosser som verktøy for å forstå det foreliggende problem. I vårt studium av elliptiske partielle differensialligninger som beskriver vibrasjoner i tynne metallplater, er hovedmålet å forstå ulike geometriske objekter gjennom noen tydelige karakteristiske trekk eller ved å tilnærme disse objektene ved hjelp av enklere størrelser. Vi arbeider med å etablere en formodning om at mønstre som forekommer i disse vibrasjonene, er av lignende art som de mye enklere mønstrene som fremkommer i studiet av algebraiske polynomer. Vi har arbeidet videre med analyse av punktmengder i enhetskuben som har en spesiell type jevn fordeling og studerer anvendelser av disse i signalbehandling. Punktmengder med såkalt lav diskrepans har vært mye brukt i kvasi-Monte Carlo-metoder, og i den senere tid er det blitt erkjent at slike mengder også kan være nyttige i signalbehandling. Det er velkjent at om man forskyver heltallene ved hjelp av en Kronecker-følge, får man en følge med interessante sampling-egenskaper; dette følger av det berømte sampling-teoremet til Matei og Meyer for kvasikrystaller. Vårt mål er å avgjøre om et lignende resultat kan oppnås om man i stedet gjør en forskyvning ved hjelp av en Halton-følge. Et slikt resultat vil kunne være av betydelig interesse fordi Halton-følger er mye enklere å håndtere numerisk. Arbeidet med å utvikle teorien for funksjonsrom av Dirichlet-rekker og samspillet med tallteori og teorien for Riemanns zeta-funksjon står sentralt i prosjektet. Vi hadde nylig et gjennombrudd som har som konsekvens at den klassiske Riemann-Weil-formelen for Riemanns zeta-funksjon kan betraktes som et spesialtilfelle av en større klasse av tid-frekvens-representasjoner av funksjoner. Vi undersøker for tiden de analytiske egenskapene til slike representasjoner og mulige tallteoretiske anvendelser av dette arbeidet. Vi har også videreutviklet vår metode for deteksjon av ekstremverdier av L-funksjoner og oppnådd en dikotomi som antyder at zeta-funksjonen kan oppnå vesentlig større verdier enn det vi tidligere har vært i stand til å påvise. En nøkkelresultat, nært knyttet til usikkerhetsprinsippet, etablerer en fundamental lokaliseringsegenskap for reproduserende kjerner i Hardy-og Bergman-rom. Slike kjerner er sentrale i kvantemekanikk der de kalles koherente tilstander. Vårt resultat verifiserer en formodning om en viss type entropi som studeres innen matematisk fysikk. Schrödinger-evolusjonen studeres i kvantemekanikk og er nært forbundet med Heisenbergs usikkerhetsprinsipp. Et av våre mål er å forstå og beskrive konsentrasjonsegenskapene til løsninger til Schrödinger-ligningen, kjent som bølgefunksjoner. Vi har lykkes med å besvare et spørsmål som har stått åpent i lang tid innenfor dette feltet, angående hvordan stasjonære plane bølger avtar. Nylig har vi også funnet et nytt bevis for Hardys klassiske usikkerhetsprinsipp ved bruk av Schrödinger-evolusjoner med kompleksifisert tid. Beviset er mer elementært enn det klassiske man finner i lærebøker. I et annet arbeid om usikkerhetsrelasjoner har vi oppnådd nye resultater om konsentrasjon av signaler i porøse mengder; dette bidrar til å videreutvikle og utvide et forskningsfelt med dype klassiske røtter som har ulike anvendelser innen tid-frekvens-analyse og spektralgeometri.

Prosjektet har utviklet kompetansen til flere unge forskere som nå hevder seg på høyt internasjonalt nivå. En viktig effekt av prosjektet er at forskningsmiljøet har styrket sin internasjonale synlighet og sitt internasjonale forskningssamarbeid.

COMAN is a 5-year FRIPRO Toppforsk project in mathematics at the Norwegian University of Science and Technology (NTNU). Its focus is basic research in analysis and its interaction with mathematical physics, PDEs, and number theory. The applicants are Eugenia Malinnikova (principal investigator), Andriy Bondarenko, Sigrid Grepstad, Yurii Lyubarskii, and Kristian Seip. Funding is sought for 3 PhD students, 3 postdoctoral fellows, and operating expenses. Collaboration with world-leading mathematicians is included. A perpetual trend in classical analysis is that major breakthroughs tend to rely on constructions or decompositions that are of a distinct combinatorial nature. The crux of the matter is often to identify and analyze certain discrete structures or simple building blocks that are instrumental in understanding and controlling the branching complexity of the problem at hand. In harmonic analysis, prominent examples stretch from the classical Calderón-Zygmund theory and Carleson's corona construction to wavelets, compressed sensing, and applications of Meyer quasicrystals. The recent significant progress in our work on geometric analysis of PDEs and analytic number theory has led us to formulate an ambitious program for COMAN, aiming to tackle several hard problems in classical analysis and related fields. The choice of topics rests on the scientific interests of our team members; the common thread in our scientific approach is to investigate in depth concrete and fundamental problems, in search for the basic underlying principles that are likely to be of a combinatorial nature and to arise from geometric, probabilistic, or number theoretic insight.