Tilbake til søkeresultatene

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek

Geometric and dynamical properties of rational maps (GrandDrm)

Alternativ tittel: Geometriske og dynamiske egenskaper av rasjonelle funksjoner

Tildelt: kr 9,0 mill.

Iterative prosesser har anvendelser i mange deler av vitenskapen og livet ellers. For eksempel vil en numerisk optimaliseringsmetode (som for eksempel gradientnedstigning eller Newtons metode) å finne minimum av en funksjon ved å starte fra en tilfeldig innledende gjetning (startpunkt), og deretter bruke en iterativ oppdateringsregel for å oppnå et nytt punkt, og dermed opprette en sekvens av punkter som forhåpentligvis vil konvergere til et minimum. Numeriske optimaliseringsmetoder har mange applikasjoner i det virkelige liv. Studie av langsiktig oppførsel av slike iterative prosesser (som banen beskrevet over, også den for periodiske punkter, virkninger på kohomologigrupper, virkninger på mål - som gir opphav til entropi) er det sentrale i dynamiske systemer. Når man bruker en iterativ prosess på en algebraisk funksjon, studerer man algebraiske dynamiske systemer. Dette prosjektet studerer algebraiske dynamiske systemer på to måter. Den ene er å konstruere fine avbildninger innen komplekse tall (automorfismer) på grunnleggende geometriske objekter (de av såkalte rasjonale varieteter) og har en spesiell egenskap (positiv entropi og som ikke stammer fra lavere dimensjoner), som det ikke er mange av foreløpig. Den andre er å studere handlingen på kohomologier for avbildninger i positiv karakteristikk, som det så langt har svært lite forskning på. Dette er komplisert, men vil være et gjennombrudd hvis det lykkes, fordi det som et spesielt tilfelle inneholder den berømte Weils Riemann-hypotesen (tilsvarende studien av periodiske punkter og løst av Pierre Deligne på 1970-tallet). Det siste emnet (algebraisk Oka-teori) i dette prosjektet tar sikte på å konstruere nye og interessante algebraiske varieteter for hvilke det er mange algebraiske avbildninger fra det affine rom. Slike algebraiske Oka-varieteter er for øyeblikket svært få og ikke veldig godt forstått. Prosjektet berører flere felt samtidig: Algebraisk geometri, Dynamiske systemer, Flere komplekse variable, computer algebra og Tallteori. Resultater fra dette prosjektet også kan være nyttige for å forstå numeriske optimaliseringsmetoder, spesielt for algebraiske funksjoner.

Several major unsolved questions in mathematics are formulated in terms of complex and algebraic varieties and maps between them (e.g. the Hodge and Jacobian conjectures). For example, Weil's Riemann hypothesis, the algebraic analog of the famous Riemann hypothesis, can be formulated in terms of periodic points of Frobenius maps. Weil's Riemann hypothesis has been at the centre of the development of algebraic geometry and recognised by various highest distinctions (Fields medal and Abel prizes) for work on it. One major recent result of the PI is to state a vast generalisation of Weil's Riemann hypothesis, inspired by complex dynamics, together with proof of a weaker version of it. This project is in mathematics and studies some very general properties of varieties and maps between them. Topic 1 of the project concerns with the fact that it is difficult to construct interesting rational selfmaps of an interesting complex variety, such as a rational variety, by looking at quotients of Abelian varieties and automorphisms of affine spaces, and by using computer algebra for effective computations of important invariants such as dynamical degrees. In Topic 2, these dynamical degrees enter into fields of positive characteristic to provide the generalisation of Weil's Riemann hypothesis mentioned above. Very recent work by Fei Hu on Abelian varieties gives more significant support to this conjecture. Topic 3 studies a class of complex manifolds which are targets of many maps from Stein manifolds, as well as a related classical conjecture of Forster about embedding of open Riemann surfaces into complex planes. There have been recent works on these two topics, including some by the PI, and the goal is to study these questions for algebraic manifolds. The success of the project, in particular of Topic 2, will bring breakthroughs with further applications in mathematics. The project will help to boost future research capacity through research training.

Publikasjoner hentet fra Cristin

Ingen publikasjoner funnet

Ingen publikasjoner funnet

Ingen publikasjoner funnet

Budsjettformål:

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek