Representasjonsteori handler om å forstå matematiske konsepter ved å se på de på riktig måte.
Tenk på de komplekse tallene. William Rowan Hamilton beskrev de som ordnede par av reelle tall, noe som gjorde beregninger enklere. Så forsøkte han å gi tilsvarende strukturer til tuppler av vilkårlig størrelse. Det førte til oppdagelsen av kvaternionene. Disse har senere vist seg å være veldig nyttige, for eksempel i 3D-grafikk (ved å bruke kvaternioner unngår man problemene med gimballåsning som man får med tradisjonelle koordinater).
Etterhvert har representasjonsteori vokst seg til å bli et stort underfelt av algebra. Vi bruker det til å studere algebraer, som er matematiske strukturer med addisjon, multiplikasjon og skalarmultiplikasjon. I stedet for å studere en bestemt algebra, studerer vi heller modulene over algebraen. De gir oss all informasjonen vi trenger. Typisk vil vi ha uendelig mange moduler over en algebra, og vi trenger en måte å organisere de på.
En løsning er homologisk algebra. Her studerer vi korteksakte følger. De består av tre moduler med avbildninger mellom dem slik at de passer sammen på en bestemt måte. En annen løsning er vippeteori, som forteller oss hvordan algebraer er "i slekt". For eksempel kan vi beskrive når ulike kategorier har lignende homologisk struktur.
Nå som vi har disse fine beskrivelsene, stiller vi oss det samme spørsmålet som Hamilton gjorde. Hva skjer om vi lager strukturene større?
Høyere homologisk algebra er en generalisering av homologisk algebra. Vi erstatter korteksakte følger med n-eksakte følger, som inneholder n+2 objekter. Ideen er at vi kan forså algebraer bedre ved å bruke disse høyere strukturene.
Så langt i prosjektet har vi fulgt to hovedspor. Det ene er å finne flere gode eksempler å jobbe med, for å underlette senere forskning. Hittil er mange eksempler enten meget komplekse (og dermed vanskelige å jobbe med) eller meget enkle (som gjør det vanskelig å trekke riktige konklusjoner). Vi har utelukket en stor klasse algebraer, såkalte milde algebraer, fra de mulige eksemplene. Vi studerer nå om representasjoner av kontinuerlige grafer kan være en god kilde til eksempler.
Det andre hovedsporet er å studere høyere torsjonsklasser. Resultatene vi finner her gjør det mulig å bruke mer av eksisterende vippeteori i høyere homologisk algebra.
The ambition of the project is to implement tilting theory in higher homological algebra.
Homological algebra is a set of powerful tools that provide structure to big, complicated mathematical systems. It often concerns short exact sequences, that is sequences of one injective and one surjective map, which match so that the former is the kernel of the latter. We can also look at it as a sequence of three objects, where the middle object should be larger that the two others.
Higher homological algebra takes the sequences of homological algebra and asks what would happen if one were to put more than one object in the middle, so that we have sequences of a longer but still fixed length. This lets us understand higher-dimensional phenomena and structures of systems.
Tilting theory has been important to understanding rings and algebras by creating equivalence classes of objects that behave in similar ways. That way, an object that looks complicated may turn out to act almost like an object we understand well. We can even tell where the differences are! Tilting theory relies on the tools of homological algebra to work, but also provides tools to use with homological algebra. Outside of algebra, it has also been used in quantum field theory in physics, and in theoretical computer science.
There has already been some effort to implement tilting theory in higher homological algebra. However, tilting theory is a rich field, and there is much work left to be done. We hope to do that, and thus understand still more complicated objects and structures.
A lot of the work we do uses category theory. We can think of category theory as the universal language of mathematics. Thus something that for us looks like a solution to a problem in representation theory may also help someone in geometry, topology or even further afield
