Applications of reduction techniques and computations in representation theory

Lineære strukturer er av fundamental betydning i alle grener av matematikken og i mange anvendelser. Studiet av slike strukturer, lineær algebra, er en av hjørnesteinene i moderne matematikk og handler om studiet av vektorrom og lineære avbildninger. Strukturer som forekommer både i den matematiske og i den fysiske verden er imidlertid oftest ikke-lineære. Et viktig eksempel er gruppestrukturen til mengden av symmetrier av et fysisk objekt. Selv om en slik gruppe i utgangspunktet ikke er et lineæralgebra objekt, kan den studeres ved å betrakte hvordan den virker på et vektorrom. Med andre ord, den abstrakte gruppen kan realiseres eksplisitt som en samling matriser, med matrisemultiplikasjon som gruppeoperasjon. Dette gir en rammeverk for å studere ikke-lineære strukturer ved hjelp av lineære metoder, som er utgangspunktet for representasjonsteorien for grupper. Denne teorien er spesielt godt utviklet for endelige grupper, altså grupper med bare endelig mange elementer. I siste halvdel av forrige århundre, ga idéer fra denne teorien opphav til utviklingen av representasjonsteori for en mer generell struktur, nemlig endeligdimensjonale algebraer. Dette prosjektet omhandler noen av de mest prominente åpne spørsmål innen representasjonsteori for endeligdimensjonale algebraer. Vi prøver å angripe de homologiske formodningene til Bass og Nakayama fra 1960-tallet. Vi bruker blant annet beregningsbasere metoder, og deler av prosjektet går ut på å videreutvikle software for slike beregninger (QPA = Quivers and path algebras). Vi anvender også reduksjonsteknikker, motivert av potensialet for å generalisere konsepter fra kluster kombinatorikk til generelle endeligdimensjonale algebraer. To PhD-studenter og en postdoktor er ansatt i prosjektet.

The main aim is to further develop and apply reduction techniques to prominent open problems in Representation theory. There are three work packages. WP1: Apply reduction techniques to study problems related to tau-tilting, motivated by the potiential of generalizing ideas of cluster combinatorics to general finite dimensional algebras. WP2: Further develop and apply QPA to investigate problems concerning computiations of projective resolutions and in particular in determining the finiteness of projective dimension of modules. WP3: Use computational methods and ideas from WP2 and reduction techniques studied in WP1, together with other reduction techniques, to attack one of the long standing conjectures in representation theory: the finitistic dimension conjecture.