Tilbake til søkeresultatene

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek

Orthogonal gauge duality & non-commutative geometry

Alternativ tittel: Ortogonal gauge-dualitet & ikke-kommutativ geometri

Tildelt: kr 7,8 mill.

Dette prosjektet arbeider mot ny teoretisk forståelse innen det matematiske feltet algebraisk geometri. Hovedmålet er å konstruerere og analysere nye eksempler av ikke-kommutative algebraiske varieteter. I algebraisk geometri studerer man algebraiske varieteter. Disse er geometriske objekter som er definert ved hjelp av algebraiske ligninger med flere ukjente. I skolen lærer man om de enkleste eksemplene på slike objekter, for eksempel vil ligningen x + y = 1 definere en linje, mens x*x + y*y = 1 definerer en sirkel. Legger man til flere ukjente og gjør ligningene mer innfløkte, kan man produsere algebraiske varieteter med komplisert geometri. Egenskapene til en algebraisk varietet kan beskrives ved hjelp av såkalte invarianter: Noen av disse er enkle å illustrere, som f.eks. invarianten dimensjon (en linje har dimensjon 1, overflaten på en ball dimensjon 2) og invarianten krumning (overflaten på en ball krummer positivt, mens den vide enden på en trompet krummer negativt). Den deriverte kategorien til en algebraisk varietet er en til sammenligning svært abstrakt og komplisert invariant. Løst forklart er den deriverte kategorien en struktur som beskriver alle objektene (teknisk: de "koherente knippene") som finnes i den algebraiske varieteten, samt relasjonene mellom dem. Studiet av den deriverte kategorien og strukturer av denne typen kalles gjerne ikke-kommutativ algebraisk geometri. En spesielt interessant klasse av objekter i ikke-kommutativ algebraisk geometri kalles ikke-kommutative K3-flater. Man ønsker seg både måter å konstruere slike på og verktøy for å analysere dem bedre. Det ikke-kommutative perspektivet viser seg å være viktig også i teoretisk fysikk, og et hovedmål i dette prosjektet er å bruke et fenomen fra fysikken (tittelens "gauge-dualitet") til å konstruere og analysere nye eksempler på ikke-kommutative K3-flater. Forskningsprosjektet tar også opp spørsmål innen "enumerativ geometri", som i sin opprinnelige form handler om hvor mange geometriske objekter av visse typer som finnes innen en gitt varietet. Dette feltet har i sin moderne form nær tilknytning til ikkekommutativ geometri og til teoretisk fysikk, og i forskningsprosjektets første år har vi blant annet vist en formodning innen enumerativ geometri.

This research project comprises basic research in algebraic geometry, which is the geometry of spaces that can be defined by particularly simple equations, so-called polynomial equations. The research is concerned with two closely related areas in algebraic geometry, namely non-commutative algebraic geometry and enumerative geometry. Non-commutative algebraic geometry replaces the geometric objects studied in algebraic geometry with more abstract algebraic structures called "derived categories", or alternatively "non-commutative varieties". Our understanding of non-commutative algebraic geometry is much poorer than that of algebraic geometry, and in particular there is comparatively little understanding of which non-commutative varieties exist, and how to relate different non-commutative varieties to each other. In the non-commutative geometry part of this project, we attack these kinds of problems, exploiting recent ideas from theoretical physics along with the theory of homological projective duality. In particular, we aim to construct new examples of so-called "non-commutative K3 surfaces". Enumerative geometry deals with the problem of counting geometric objects. A typical question would be how many algebraic curves in the plane exist with given properties. In modern enumerative geometry the focus has shifted to computing different kinds of "virtual number" of curves, which roughly speaking is a way of defining what the number of curves should be if it were finite, which it typically isn't. One such type of virtual number is called the Donaldson-Thomas invariants. The enumerative geometry part of the project will develop new techniques for computing and understanding these Donaldson-Thomas invariants, in technical terms for 3-dimensional "orbifolds" and 4-dimensional varieties.

Budsjettformål:

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek