Computational Dynamics and Stochastics on Manifolds

I forskningsåret 2020-2021 har vi hatt vesentlige framskritt i forståelsen av konneksjons-algebraer. Konneksjoner er den geometriske strukturen på en mangfoldighet som definerer parallellitet og geodetiske kurver. Denne typen geometrisk informasjon er essensiell i mange anvendelser som informasjonsgeometri, shape-analyse og numerisk løsning av differensiallikninger. Forut for dette prosjektet fant vi at de geometriske strukturene til invariante konneksjoner [Nomizu 1954] har en algebraisk parallel. F.eks. er flate geometrier beskrevet av preLie algebraer, Klein geometrier av postLie algebraer og symmetriske rom av Lie Admissible Triple Algebraer. En detaljert forståelse av disse strukturene er essensielt for å kunne gjøre systematiske beregninger av mange geometriske problemer. Det har vært en stor (positiv) overraskelse å innse at vi også kan beskrive algebraer for generelle ikke-invariante konneksjoner ved hjelp av postLie algebraer. Et av hovedmålene med CODYSMA var å danne en detaljert forståelse av konneksjons-algebraer for alle invariante konneksjoner. Generelle konneksjoner så ut til å være utenfor rekkevidde, men det er nå sannsynlig at vi vil kunne lage en rik teori for det generelle tilfellet. Dette er arbeide i utvikling som vil ha stor betydning for prosjektet i de neste årene. I 2022-2023 har vi hatt vesentlige gjennombrudd i forståelsen av algebraer av generelle konneksjoner. Dette åpner for generalisering av B-rekker og tilsvarende teknikker for geometriske problemer på generelle geometrier. Teorier som er utviklet innen Codysma prosjektet ser nå ut til å finne anvendelser innen teorien for regularitets strukturer for stokastiske partielle differensiallikninger, og det er betydelig interesse for dette internasjonalt, sist under Fransk GdR møte om renormalisering i Calais, November 2022, samt programmet "Signaturer for Bilder" ved Senter for Grunnforskning (2023-24) ledet av Kurusch Ebrahimi-Fard og Fabian Harang.

A surprising convergence of certain areas of mathematical sciences is currently taking place. Research fields including numerical integration of dynamical systems, rough path theory and regularity structures for stochastic partial differential equations, combinatorial techniques in control theory and other seemingly very separate areas of mathematics all share common foundations where algebraic structures on trees and their underlying combinatorial algebras are central. Algebraic structures arising naturally from the geometry of invariant connections on manifolds are at the very heart of these mathematical developments. The CoDySMa project is developing geometric, algebraic and computational techniques through an interaction between Lie-Butcher theory in computational dynamics and algebraic techniques arising from rough paths and regularity structures in stochastic analysis. Through advancement of the underlying mathematical theories, open source software, publication and organisation of international conferences and workshops, the project has as a main goal to provide a common mathematical and computational framework unifying diverse fields of mathematics, and develop new mathematical and computational techniques. We are at a pivotal point in these developments, where establishing a common mathematical framework supported by powerful computational techniques and software implementations can lead to far-reaching results. The PI of this project founded Lie-Butcher theory, generalising classical B-series to manifolds and Lie groups. In recent research with co-workers, these geometric and algebraic structures are substantially developed and applied to rough paths on manifolds. The Norwegian research group is complemented with leading international experts. Together they form a unique research group with expertise to achieve the project goals.