Gabor frames, operator algebras, and quasicrystals

En av de vanligste teknikkene i signalbehandling er å representere et periodisk signal som en sum av sinusbølger. For signaler som ikke er periodiske, for eksempel et stykke musikk, trenger man mer omfattende metoder. En løsning er å representere slike signaler ved hjelp av Gaborrammer. En slik representasjon vektlegger frekvensinnholdet til et signal i hvert enkelt tidspunkt, ikke ulikt måten vi skriver musikk på ved hjelp av notesystemet. I konstruksjonen av en Gaborramme er det nødvendig å spesifisere en punktmengde i tidsfrekvensplanet. I tilfellet der denne punktmengden er et gitter, har metoder fra operatoralgebraer tidligere blitt brukt til å bevise eksistensen av Gaborrammer for gittere som sitter tilstrekkelig tett i tidsfrekvensplanet. Om man i tillegg krever at Gaborrammen er lokalisert i tid og frekvens, er dette eksistensproblemet uløst. Det har blitt løst for såkalte ikke-rasjonale gittere, igjen ved bruk av operatoralgebraer. Det første målet i dette prosjektet var å løse det gjenstående problemet som omhandler rasjonale gittere. Langt mindre er kjent når man velger en aperiodisk punktmengde i spesifikasjonen av en Gaborramme. I feltet aperiodisk orden brukes slike punktmengder som matematiske modeller for kvasikrystaller i fysikk og kjemi. Det andre målet i dette prosjektet var å etablere nødvendige og tilstrekkelige betingelser for eksistensen av Gaborrammer og komplette Gaborsystemer over aperiodiske punktmengder ved å bruke verktøy fra aperiodisk orden i tillegg gruppoider og deres operatoralgebraer. I tillegg ønsket vi å generalisere resultatene våre til såkalte koherente systemer, som er funksjonssystemer konstruert fra representasjoner av nilpotente Lie-grupper. Her svarer Gaborrammer til det mest elementære tilfellet, nemlig når den underliggende gruppa er abelsk. I løpet av prosjektets gang har vi etablert eksistensen av lokaliserte Gaborrammer for en stor klasse av tilstrekkelig tette rasjonale gittere. Metodene våre bygger på sammenligning av projeksjoner i assosierte C*-algebraer. Problemet er fremdeles åpent for de resterende rasjonale gitterne, og det er uklart hvordan metoder fra operatoralgebraer kan brukes til å løse problemet for disse tilfellene. Vi har også bevist lignende resultater for koherente rammer som oppstår fra nilpotente Lie-grupper. I den andre delen av prosjektet har vi bevist milde nødvendige betingelser for eksistensen av komplette Gaborsystemer over approksimative gittere. I tillegg har vi illustrert ved et moteksempel at det ikke fins sterke nødvendige betingelser for eksistensen av komplette Gaborsystemer, selv over approksimative gittere. Disse resultatene gjelder mer generelt for koherente systemer som oppstår fra amenable grupper. Vi har også bevist generelle nøvendige betingelser for eksistensen av koherente rammer selv for ikke-abelske grupper ved å bruke teknikker basert på gruppoider. Disse resultatene generaliserer mange tetthetsteoremer i litteraturen, og involverer et nytt tetthetsbegrep som oppstår naturlig fra aperiodisk orden.

In this project, we made significant progress on the open problem of whether every lattice in the time-frequency plane of covolume strictly less than one admits a Gabor frame with window in the Schwartz class. Namely, we proved it for rational lattices that are in a precise sense far from being integral relative to how close their covolume is to one. Our methods come from one of the main insights of the project, namely that the existence of localized coherent frames is closely related to the problem of strict comparison of projections in associated C*-algebras. We also proved in a general setting necessary density conditions for sampling and interpolation in unimodular locally compact groups. These conditions involve a new notion of covolume that arises from the hull dynamical system of a point set. As we show, this covolume agrees with the reciprocal of Beurling densities in amenable groups, so our result unifies several density theorems in the literature. The results from the project have demonstrated the usefulness of methods from operator algebras (in particular groupoids) and aperiodic order to approach and solve sampling problems in harmonic analysis. This has paved the way for further applications of these methods. In addition, a workshop was organized in May 2024 to bring together mathematicians from these communities. A potential impact of the project is further cross-pollination between these fields.

In mathematics and signal processing, Gabor frames are structured function systems that allow for basis-like representations of functions in one or several real variables. A Gabor frame is constructed from a window function and a point set in the time-frequency plane. The fundamental problem that we will study in this project is the following: Which point sets admit Gabor frames, possibly with additional regularity assumptions on the window function? We have three main objectives: A: Determine when a lattice point set admits a Gabor frame with a well-localized window. B: Study the existence of Gabor frames over quasicrystals in the time-frequency plane. C: Study objectives A and B in the general setting of frames in the orbit of unitary group representations sampled from approximate lattices. Techniques from operator algebras have been highly successful in answering existence questions for Gabor frames over lattices as seen by the work of Bekka, Rieffel and Jakobsen-Luef. In Objective A, we aim to resolve an open problem using Rieffel's Heisenberg modules over rational noncommutative tori and higher-dimensional Zak transforms. The significant challenge here will be to obtain a transparent description of the modules in terms of vector bundles. In Objective B, we use groupoids and their operator algebras to approach Gabor frames over quasicrystals as initiated in a paper by Kreisel. In Objective C we study the extent to which our methods generalize, establishing connections to new developments on approximate lattices for locally compact groups. A challenging task will be to construct operator algebras associated to approximate lattices that generalize group algebras.