Dette prosjektet er sentrert rundt Riemanns zeta-funksjon som bærer i seg informasjon om hvordan primtallene er fordelt, det vil si de positive heltallene 2, 3, 5, 7, 11 osv. som bare er delelige med 1 og seg selv. Slike tall spiller en viktig rolle i sikre systemer for asymmetrisk kryptering. Den berømte Riemann-hypotesen forutsier hvor de såkalt ikke-trivielle nullpunktene til zeta-funksjonen ligger. Hvis vi visste at Riemann-hypotesen var sann, ville vi ha en presis asymptotisk formel for hvordan primtallene er fordelt.
Dette prosjektet utforsker forbindelser mellom de ikke-trivielle nullpunktene til zeta-funksjonen og usikkerhetsprinsippet fra fysikk og signalbehandling. Prosjektet undersøker også hvordan sammenhengen mellom primtallene og de ikke-trivielle nullpunktene til zeta-funksjonen kan forstås i lys av teorien for kvasikrystaller, som er strukturer med en bestemt orden men uten noen form for periodisitet.
Studiet av fordelingen av primtallene dreier seg i stor grad om å forstå samspillet mellom additive og multiplikative strukturer. Prosjektet utvikler en gren av matematisk analyse som kalles multiplikativ analyse, der man studerer denne typen samspill innenfor rammen av funksjonalanalyse.
The proposal consists of three topics: (A) Analysis on the Riemann zeta function, (B) multiplicative analysis, and (C) Fourier interpolation and quasicrystals. Parts (B) and (C) represent emerging fields of analysis and are interconnected via their link to part (A). The proposed research aims at shaping the new fields (B) and (C) and at the same time advancing related analytic methods pertaining to part (A).
Part (A) aims at developing analytic techniques and viewpoints that are of specific interest to the Riemann zeta function and other L-functions. The project will in particular pursue possible number theoretic applications of Fourier interpolation and quasicrystals in this context.
Part (B) will develop the theory of Hardy spaces of Dirichlet series and specifically study composition operators acting on such spaces and spectral resolution of Mellin type operators. The project aims at solving embedding problems, with special emphasis on clarifying the scope of contractive embeddings and describing suitable classes of Carleson measures. An additional goal of part (B) is to describe curves and measures for which Fourier restriction is admitted.
Part (C) will develop the general theory of Fourier interpolation and quasicrystals. The proposed research aims at clarifying the scope of Fourier interpolation and at unifying this emerging theory with classical time–frequency analysis. This involves obtaining a better understanding of the link between Fourier interpolation and crystalline measures, as well as determining whether the full structure inherent in a quasicrystal is indeed needed for universal sampling.
The project will support 9 man-years of research carried out by three PhD students.