Fano manifolds, wall structures and torus fibrations

Polynomligninger, der ett polynom er satt lik et annet, er fundamentale innen moderne teknologi. De har anvendelser i et bredt spekter av felt, fra grunnleggende vitenskaper som kjemi og fysikk, til økonomi og samfunnsvitenskap. Løsningene til disse ligningene tar form av geometriske figurer, som kan klassifiseres i grunnleggende byggeklosser. Disse byggeklossene er kjent som Fano-mangfoldigheter, oppkalt etter den italienske matematikeren Gino Fano, som først påviste deres eksistens i geometrien. Forestill deg at du er en oppdagelsesreisende i et vidstrakt hav som representerer universet av matematiske former og geometrier. Dette havet er bestrødd med øyer, hver av dem unik i form, størrelse og egenskaper, som representerer forskjellige matematiske objekter. Fano-mangfoldigheter er som en særegen gruppe øyer med fascinerende egenskaper. De fungerer som grunnleggende elementer for mer komplekse øyer som ennå er uutforsket. Akkurat som en øy som er lett å utforske fordi den har mange guider, er Fano-manfoldigheter, på grunn av deres “ampleness”-egenskap, mer tilgjengelige for studier sammenlignet med andre matematiske objekter. Fano-manfoldigheter kan betraktes som en omfattende kategori som inkluderer objekter vi allerede har en god forståelse av. De er knyttet til flere viktige konsepter innen geometri og tallteori, inkludert studiet av rasjonelle punkter, en sentral del av tallteorien. Ruddats forskningsprosjekt har som mål å øke betydningen av Fano-mangfoldigheter i algebra, geometri og teoretisk fysikk. Prosjektet søker å klassifisere disse formene og lage en katalog, på lik linje med det periodiske systemet for grunnstoffer i kjemi. For å oppnå dette målet, vil nye teknikker fra speilsymmetri, logaritmisk og tropisk geometri bli brukt.

Systems of polynomial equations are extensively used in technology and science applications, ranging from basic chemistry and physics to economics and social science. The geometrical shape of the solution can be classified if one understands the fundamental building blocks. Mori Theory has identified these fundamental blocks as Fano manifolds. Building on prior work of successful ERC and EPSRC projects centered at the Imperial College London, Shape2030 will turn Stavanger in Norway into the center and knowledge base for the next imminent breakthrough in the foundational knowledge production of Fano manifolds and to complete the directory for Fanos of dimension three and four. Fano manifolds and more generally log Calabi-Yau manifolds lie at the heart of the enumerative mirror symmetry conjecture (EMS), the homological mirror symmetry conjecture (HMS) and the Strominger-Yau-Zaslow conjecture (SYZ). Using novel cutting edge techniques from logarithmic and tropical geometry, Shape2030 will make substantial progress on these conjectures and aim to solve EMS and SYZ. Unique new information about wall structures and torus fibrations will lead to groundbreaking new discoveries that enable future generations of scientists and provide benefit Norway's scientific and skilled labor landscape. The project team consist of 16 diverse team members: 5 local in Norway and 11 at strategically chosen international centers. Thesis writing students will be equiped with unique skill sets in mathematical problem solving, artificial intelligence and advanced techniques in geometry and polynomial equations. The proposal is set out to enable the achievement of the United Nation goals on economic growths, innovation and quality education and it facilitates the green transition by advancing the understanding of fundamental mathematics, e.g., about solutions to polynomial equations which underlies – among others – fields like geometric modelling, clean energy and robust engineering.