Prosjektet har som mål å utforske og utvikle matematiske og numeriske metoder for å analysere stokastiske transportligninger. Disse ligningene er essensielle for å forstå hvordan tilfeldige fluktuasjoner (støy) påvirker dynamiske systemer som turbulens, vannbølger, geofysiske strømmer og kompressibel væskebevegelse. Transportligninger er en type partielle differensialligninger som brukes til å modellere bevegelse og spredning av størrelser som masse, energi eller kjemiske stoffer i et medium. Ved å inkludere stokastiske elementer i modellene kan vi ta høyde for tilfeldige påvirkninger som ofte oppstår i naturen og industrien. Prosjektet har særlig fokus på gradientstøy, hvor hastighetsfeltene påvirkes direkte av støy. Dette gjør det mulig å beskrive løsninger som bevarer energi, noe som er avgjørende i fluidmekanikk. Vi benytter Stratonovich- og Marcus-type fluktuasjoner for å modellere denne typen støy. Så langt har prosjektet oppnådd flere viktige resultater: velstillthet av et to-komponent Novikov-system som beskriver ikke-lineær bølgeforplantning, nye resultater for en grunnleggende hyperbolsk-elliptisk black-oil modell, samt velstillthet av hyperbolske PDEer med diskontinuerlig flux. Slike bidrag gir både ny teoretisk innsikt og bedre grunnlag for numeriske beregninger av komplekse systemer.
Our project is at the cutting edge of numerical analysis of SPDEs affected by transport noise. Such equations have emerged as a focal point in mathematical research, due to their critical applications in areas like fluid dynamics, turbulence modeling, and geophysical flows. This heightened interest is driven by the need for deeper understanding and precise analysis of these complex phenomena, where SPDEs offer vital insights and predictive capabilities. What sets our research apart is its emphasis on transport-dominated systems driven by gradient noise operators. Prior numerical analysis studies have explored SPDEs with stochastic forcing, but the examination of gradient noise is still in its infancy. The complexity of gradient noise, involving anisotropic (integro-) differential operators due to stochastic calculus, presents unique challenges. There is a pressing need to develop methods that preserve the hyperbolic structure of these equations. Our project aims to pioneer this field by devising theoretically sound numerical algorithms and creating novel frameworks for stability and convergence. Our work considers supercritical transport equations, nonlinear wave equations, and the compressible Navier-Stokes equations. Research on stochastic transport equations is inspired by the famous Kraichnan turbulence model, which posits advection through a Gaussian velocity field. Yet, there is a growing consensus that noise in turbulent velocities might be better represented by a Lévy process with jumps. As the second main advancement of our project, we are breaking new ground by pioneering the analysis of SPDEs affected by Marcus-type gradient noise. This area is critically important yet hardly explored, with vast potential for groundbreaking discoveries. Marcus noise is distinct for adhering to the Newton-Leibniz chain rule, which is important in fluid dynamics, unlike the Stratonovich interpretation which fails to do so in the presence of jumps.
