Deriverte modulkategorier er sentrale matematiske objekt siden de kan forekomme i mange tilsynelatende nokså forskjellige fagfelt innen ren matematikk. Det er nemlig slik at en gitt derivert modulkategori kan noen ganger være essensielt identisk med en nokså forskjellig form for kategori som oppstår innen f.eks. kommutativ algebra. Dette medfører også at det er viktige å forstå symmetriene til deriverte modulkategorier. Faktisk viser det seg at deriverte modulkategorier og deres symmetrier også er av interesse innen deler av teoretisk fysikk.
Som følge ønsker en å forstå samlingen av alle slike symmetrier i viktige tilfeller. Uheldigvis involverer dette objekter som er vanskelige å konstruere i praksis - altså symmetriene - og en operasjon som er vanskelig å beregne. Her tillater operasjonen en å produsere "nye" symmetrier ved å kombinere "gamle". At slik en operasjon kan være viktig er noe de fleste allerede er kjent med fra å ha lært om heltall: nemlig tillater multiplikasjon en å produsere "nye" heltall fra "gamle", men denne operasjonen tillater også at en kan uttrykke et vilkårlig heltall via dets primtallsfaktorisering.
For symmetrier av deriverte modulkategorier kan det å forstå symmetriene som spiller en analog rolle til primtall være enda mer betydningsfullt siden det kan være at det kun er endelig mange av de. I et slikt tilfelle vil det å forstå den ovenfornevnte operasjonen og et visst endelig antall symmetrier potensielt tillate en å forstå hele samlingen av symmetrier. Dette kan være tilfelle selv om sistnevnte består av uendelig mange forskjellige symmetrier.
Hvis vi tillater oss å være litt upresise, er prosjektets mål å forbedre eksisterende metoder for å gjøre det som beskrives i avsnittet ovenfor, og prosjektet vil oppnå dette ved å utbedre og syntetisere visse nylig utviklede metoder. Å gjøre dette vil også tillate oss å produsere en katalog av eksempler som kan utgjøre et fundament for videre forskning.
A notion in mathematics can be said to be central if it appears independently in different subfields. They are fundamental since they allow insights from one field to be transferred to another. One such central notion is that of symmetries, which are also important in their own right since highly symmetrical objects are often easier to work with.
The overarching aim of the project is to greatly advance the state of the art for methods of computing symmetries of a derived module category, which is itself a central mathematical object that connects representation theory to other fields of pure mathematics such as algebraic geometry, commutative algebra, or symplectic geometry.
A derived Picard group contains, essentially, the symmetries of the derived module category of a finite dimensional algebra. Hence, one wants to understand these groups in important cases. Unfortunately, this involves objects that are challenging to construct in practice - i.e. two-sided tilting complexes - and an operation that is challenging to compute - i.e. derived tensor products.
Within the last half-decade, t-tilting theory has allowed computing derived Picard groups of preprojective algebras by replacing derived tensor products with the relative simplicity of t-tilting mutation, and similar methods have been successful for contraction algebras. This project will extend these methods to higher dimensions via t-d-tilting theory.
In both cases mentioned above, the construction of the necessary two-sided tilting complexes uses methods that are not available in general. To fill this obvious gap, this project will develop a more general construction using a theory of projective resolutions over almost T-Koszul algebras, a notion both preprojective and contraction algebras are instances of.
By applying these methods to key classes of twisted periodic algebras, the project will also provide a catalogue of examples in far greater generality than is currently available.
