Topology in Norway

Uttrykket "topologi" indikerer, i vid forstand, et begrep om geometriske strukturer, og den grunnleggende strategien innen algebraisk topologi er å koble geometriske strukturer med algebraiske strukturer. Det skjer ofte at de algebraiske strukturene kan analyseres mer effektivt enn deres geometriske motstykker og dette er nyttig, for eksempel, ved klassifisering av ulike typer geometriske fenomener. Den algebraiske K-teorien innført av D. Quillen gir et eksempel på dette prinsippet: Spørsmål i algebra, algebraisk geometri, tallteori, og geometriske topologi kan omformuleres i termer av topologiske objekter kjent som spektra og slike spørsmål kan dermed analyseres med teknikker fra algebraisk topologi. De viktigste målene i prosjektbeskrivelsen kan oppsummeres som et program for å analysere og beregne ulike former av algebraisk K-teori og for å knytte resultatene til andre matematiske områder av algebraisk og geometrisk interesse. Studiet av algebraisk K-teori har vært et svært aktiv forskningsområde i algebra og topologi i løpet av de siste femti årene. En av de mest suksessfulle metoder i analysen av algebraisk K-teori er gitt ved spor invariantene introdusert av Bokstedt-Hsiang-Madsen. Disse spor invarianter tar verdier i topologisk Hochschild homologi (THH) og en ekvivariant videreutvikling kjent som topologisk syklisk homologi (TC). I gunstige tilfeller er algebraisk K-teori ekvivalent til TC og TC har fordelen av å være tilgjengelig for beregning med standardmetoder innen algebraisk topologi. Mens THH og TC ofte er enklere å beregne enn algebraisk K-teori har disse teoriene dessverre ikke alle de fine egenskapene kjent fra algebraisk K-teori. Spesielt har lokaliseringssekvensene for algebraisk K-teori av Dedekind ringer ikke en umiddelbar analog for THH. Motivert av tidligere arbeid av Hesselholt-Madsen og Rognes, ble det identifisert som et sentralt mål i prosjektbeskrivelsen å konstruere en logaritmisk versjon av THH der slike lokaliseringssekvenser eksisterer for den typen av ringspektra som er relevant for den homotopiske forståelsen av algebraisk K-teori. En slik logaritmisk teori har nylig blitt utviklet av prosjektdeltakerne J. Rognes og C. Schlichtkrull i samarbeid med S. Sagave. I en annen, men beslektet, retning har prosjektdeltaker B. Dundas sammen med A. Lindenstrauss, B. Richter og C. Ausoni bestemt høyere og iterert THH i en rekke tilfeller der inkluderer tallringer og endelige kropper. Disse itererte teoriene er viktige for forståelsen av de homotopiske egenskapene til algebraisk K-teori. For å forstå den ekvivariante strukturen av iterert THH, og dermed overgangen til iterert TC, er det viktig å ha en grundig forståelse av de underliggende byggesteiner, dvs. strukturen av ekvivariante smashprodukter. Med utgangspunkt i doktorgradsavhandlingen til M. Stolz, har prosjektdeltakerne M. Brun og B. Dundas i samarbeid med M. Stolz utarbeidet en omfattende analyse av denne teorien. Sammen med sporinvariantene omtalt ovenfor er den viktigste metoden til å analysere algebraisk K-teori gitt ved den motiviske homotopiteorien utviklet av Morel og Voevodsky. Denne teorien har gjort det mulig å studere algebraiske varieteter med topologiske metoder og to av hovedmålene i denne delen av projektet har blitt oppnådd ved prosjektdeltaker P. A. Østvær og samarbeidspartnere. Det første av disse målene ble formulert som spørsmålet om hvordan hermitiske K-grupper kan beregnes ved hjelp av motiviske stabile homotopigrupper og dette spørsmålet ble besvart i et fellesarbeid med A. J. Berrick, M. Karoubi, og M. Schlichting. Det andre målet var å gi et nytt bevis for Milnors formodning om kvadratiske former ved en eksplisitt beregning av spektral sekvensen for det høyere Witt-teori spekteret og dette har blitt oppnådd i et fellesarbeid med O. Rondigs I tillegg til resultatene nevnt ovenfor har prosjektets deltakere produsert en rekke vitenskapelige arbeider i beslektede matematiske områder. Disse resultater omfatter arbeidene til M. Szymik om ikke-lineær Hochschild kohomologi og deriverte sentre og studiet til M. Thaule og samarbeidspartnere av n-angulerte kategorier. Det har også vært en økende interesse blant prosjektdeltakerne i de ulike anvendelser av topologiske metoder i data og numerisk analyse. I denne forbindelse har A. Schmeding, som hadde en av postdoktorstillingene knyttet til prosjektet, hatt en brobyggerrolle da han har samarbeidet både med topologigruppen og gruppen for numerisk analyse ved NTNU. Eksistensen av et velutviklet topologinettverk mellom institusjonene knyttet til prosjektet (NTNU, UiB, UiO) skyldes for en stor del støtten fra Norges Forskningsråd til dette og tidligere prosjekter. Dette har vært ekstraordinært gunstig både for forskere og studenter og gjenspeiles i det høye antallet felles prosjekter og utgivelser i projektperioden.

The concept of symmetry is one of the most fundamental notions in mathematics and in the applications to neighboring scientific fields. One of the main scientific objectives of the project is to analyze the transfer of one fundamental form of symmetry, na mely the symmetry underlying the definition of a commutative algebra over the sphere spectrum, to another fundamental form of symmetry, the periodicity patterns arising from the chromatic view on the stable homotopy category. The concept of symmetry als o underlies the approaches to motivic homotopy theory and higher order structures in topology suggested by the project.