Discrete Functions and Their Applications in Cryptography and Mathematics

Dette prosjektet er opptatt av teorien for funksjoner over endelige felt og dets applikasjoner til kryptografi og til ulike grener av matematikken. I kryptologi er sikkerheten for et kryptologisk system ofte basert på hardheten for å løse visse matematisk e problemer. På den annen side, viser det seg at for å konstruere sikre byggeblokker for kryptosystemer er det ofte nødvendig å løse matematiske utfordringer. Hovedmålene med dette prosjektet er å kombinere metoder for algebra, kombinatorikk, kode teori, endelig geometri, tallteori, sekvens design for bygging av sikre byggesteiner (det vil si funksjoner med spesielle egenskaper) for symmetrisk kryptografi fra den ene siden, og å finne flere anvendelser av diskrete funksjoner i de nevnte områdene i matematikk på den andre side. I prosjektperioden har prosjektmedlemmene Lilya Budaghyan og Nian Li gjenomført følgende: I henhold til prosjektets mål oppnådde prosjektmedlemmer resultatene på konstruksjon og analyse av APN, AB, bent og negobentfunksjoner og deres ekvivalensforhold, konstruksjon av permutasjonspolynomer over endige korper, konstruksjon av sekvenser med lav korrelasjon, konstruksjon av lineære koder over sluttfelt eller Galois ringer med gode parametere. Hovedforskeren, Lilya Budaghyan, har organisert 6 internasjonale workshops: BFA 2014, BFA 2017 og BFA 2018 (boolske funksjoner og deres applikasjoner), MMC 2017 (matematiske metoder for kryptografi), WAIFI 2018, Emil Artin Conference 2018. Prosjektmedlemmene har publisert 2 monografi, 24 papirer og 5 bøker. I 2016 oppnådde hovedforskeren et prosjekt på 23 millioner kroner "Optimal Boolean Functions" fra Bergen Forskning Stiftelse for å fortsette og utdype forskningen som startet i dette NFR-prosjektet. I 2018, begynte den andre forskeren av dette prosjektet, Nian Li, som associate professor ved Hubei University i Kina. Hovedforskeren har vært medlem av programkomiteer på internasjonale konferanser: 1. Int. Konferanse om sekvenser og deres applikasjoner SETA 2018, Hong Kong. 2. Emil Artin International Konferanse, 2018, Yerevan, Armenia. 3. International Students 'Olympiad i kryptografi NSUCRYPTO. 4. Int. Workshop på Aritmetikk av Endlige Korper, WAIFI 2018, Bergen, Norge, (program medformann). 5. Int. Workshop om koding og kryptografi, WCC 2017, Saint Petersburg, Russland. 6. Andre Int. Konferanse i Koder, kryptologi og informasjonssikkerhet, C2SI 2017, Rabat, Marokko. 7. Den 9. norske informasjonssikkerhetskonferanse, NISK 2016, Bergen, Norge. Hovedforskeren har holdt følgende inviterte presentasjoner: 1. CSIT 2017 internasjonale konferanse om datavitenskap og informasjonsteknologi, Yerevan, Armenia, 2017. 2. Moscow State University, Moskva, Russland, mai 2017. 3. Armenske matematiske union, Yerevan, Armenia, mai 2017. 4-5. Informasjonssikkerhet og beskyttelse av informasjonsteknologier, ISPIT-2017 og ISPIT-2016, St. Petersburg, Russland, april 2016 og april 2017. 6. Norsk-slovakisk verksted, Bergen, Norge, februar 2016. 7. Novosibirsk State University, Russland, okt. 2018. 8. Steklov Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russland, okt. 2018. 9. Emil Artin Conference, Yerevan, Armenia, mai 2018. Hovedforskeren har vert redaktør for følgende internasjonale tidsskrifter: 1. "Kryptografi og kommunikasjon" (Springer) 2017/2018 for den spesielle utgave på boolske funksjoner og deres applikasjoner. 2. "Kryptografi og kommunikasjon" (Springer) 2017/2018 for den spesielle utgave om matematiske metoder for kryptografi. 3. "Kryptografi og kommunikasjon" (Springer) 2014/2015 for den spesial utgave på boolske funksjoner og deres applikasjoner (130 sider). 4. "Designs, Codes and Cryptography" (Springer) 2013/2014 for den spesielle utgave med koding og kryptering (332 sider). 5. "Lecture Notes in Computer Science?" 2018/2019 for Post-proceedings of the International Workshop on Finite Fields and Their Applications. Hovedforskeren har vært hovedveileder for doktorgradsstudenter Bo Sun (2016-2018), Irene Villa (siden 2016), Nikolay Kaleyski (siden 2017), Diana Davidova (siden 2017) og en medveileder av Dan Zhang (siden 2017). Hovedforskeren har deltatt som samarbeidspartner i følgende prosjekter: 1. NRC-prosjektet "Moderne metoder og verktøy for symmetrisk kryptologi" (24 MNOK) for perioden 2015 - 2020; 2. "Sårbarheter i systemer for beskyttelse mot SCA-angrep" ved Saint-Petersburg statsuniversitet for informasjonsteknologi, mekanikk og optikk, Saint Petersburg, Russland, for perioden april til juli 2016; 3. "Kryptografi gir sikkerhet og frihet" (EEA Grant for slovakisk-norsk samarbeid), periode 2015 - 2016.

Many results on discrete functions have been obtained which have been published in 2 monograph and 24 papers. In addition 5 books as a co-editor have been published, 6 workshops organized, membership in 7 program committees of international conferences, 9 invited talks at international conferences and foreign universities, 5 PhD students have been trained (one of which with graduation during the project period), a 23 million NOK BFS project obtained, participation in 3 projects as a collaborator.

The aim of this project is to address essential problems related to discrete functions. Solutions of these problems may improve the reliability and security of modern communication systems and could make a big impact to many branches of mathematics. That is, the research involved in this project would have both theoretical and practical significance. Discrete functions are mappings from one finite set to another one and an important particular case of such functions is the case of Boolean functions, whic h are ubiquitous, occurring at the heart of virtually all known digital systems: computers, telecommunications and cryptographic primitives, for example, all depend on the theory of Boolean functions. Moreover, functions with optimal cryptographic propert ies define optimal in certain sense objects in coding theory, combinatorics, algebra, finite geometry, sequence design, quantum information theory et al. Hence, construction and analysis of optimal cryptographic functions is connected with important mathe matical problems and solution of these problems would make a valuable contribution to both mathematics and information theory. On the other hand, it's certain that the potential of the theory of discrete functions is not used to its full extent and we als o aim to discover its further applications.