Nonlinear water waves

En vannbølge som bryter er et av de mest vanlige og likevel komplekse fenomener i naturen. Å beskrive og forstå vannbølger matematisk, selv når disse er glatte og periodiske, utgjør et av de mest langstående problemene innenfor modern matematikk. En spesiell utfordring er å forstå de såkalte ikke-lokale egenskapene til vannbølger, nemlig det at oppførselen og tidsutviklingen av en bølge er påvirket ikke bare av situasjonen ved et bestemt punkt i bølgen, men av informasjon fra alle deler av væsken. Matematisk innebærer dette gjerne en klasse av integraloperatorer kalt Fourier- eller pseudodifferensialoperatorer. Studiet av disse er svært forskjellig fra klassiske differensialligninger, der idag veldig mye er kjent. Dette prosjekt tar sikte på å studere visse klasser av ikke-lokale likninger som beskriver vannbølger i en kanal eller ute på havet, med et særlig fokus på bølger med stagnasjon, slik som virvler, bølgebrytning, eller skarpe topper på overflaten. For mange likninger det ikke engang klart om løsninger, dvs bølger, eksisterer, eller hvordan de i så fall oppfører seg eller ser ut. Et særlig fokus vil være på Eulers likninger for bølger under en fri overflate, samt en klasse modelllikninger oppkalt etter den amerikanske matematikeren Gerald B. Whitham. I 2015 klarte vi å vise at Whithams likning tillater en høyeste spiss bølge. Dette var en formodning av Whitham fra 1967, og et av prosjektets hovedmål. I løpet av 2016 har arbeidet på en generell teori for høyeste bølger blitt begynt, og en likning for bølger i to retninger har blitt fullstendig analysert med hensyn på største løsninger. 2017 har sett avsluttningen av flere prosjekter: asymptotiske egenskaper til solitäre bølger, lokal eksistensteori, symmetriegenskaper av løsninger til en generell klasse likninger, rotasjonelle løsninger til Eulerlikningene. Arbeidet med generell teori for høye bølger fremskred i 2018 flere delprosjekter, hvorav noen er avsluttet.

Det er oppnått uforventede virkninger av prosjektet: Takk være prosjektet har mange grupper i både Europa og USA begynt forskning på disse likningene. Flere av arbeidene om Whitham har, for matematikk, allerede etter kort tid høye siteringstall. En gruppe ved Princeton og Madrid kommit opp med verdens første datorbaserte PDE-bevis for en formodning fra oss. Ved enkelte konferenser, som IMACS Georgia 2017, har hele sessioner tilegnets bare Whithamlikninger. Intresset for såkalte fullt dispersive likninger har skyvet i høyden. Som en følge av den aktivitet prosjektet skapet har gruppen fått flere medarbeider som bidratt til prosjektet. Dette gjelder stillinger finansiert av instituttet og eksternt finansierte stillinger (ERCIM). Mye av det vi lært i prosjektet har gått inn i både søknaden til og arbeidet med Toppforskprosjektet 250070. Det er i dagene fem postdocs som ansøker om stillig ved instituttet med prosjekt som fortsetter arbeidet fra Forskertalenter-prosjektet.

A crucial and challenging part in the study of water waves is their inherent non-local nature: if reduced to the surface any known exact model of water waves will include non-local operators. In the original setting this is manifested through nonlinear bo undary conditions on the free surface, which appear as Fourier or pseudo-differential operators when the equations are transformed to, or approximated by, equations on the real line. This has important implications for the study of waves with singularitie s in the form of cusps, peaks or vortices, since these do not arise as local phenomena, but are related to the global behaviour of a solution. The aim of this project is to bring further understanding of those phenomena in settings which are largely une xplored. While much is known about peakons and cuspons and related singular waves within the theory of solitons and integrable systems, very little is understood in the context of inherently non-local equations. In particular, we take an interest in waves allowing for breaking or stagnation, i.e. waves that either blow up in norm while remaining bounded, or that exhibit vortices (interior stagnation), peaks or cusps (surface stagnation). To further limit the scope we focus on two settings that have recent ly drawn a lot of attention and also shown some interesting qualitative features, namely (i) exact traveling waves, and (ii) equations of Whitham type (sharing important features with the non-local Whitham wave equation introduced by Whitham in 1967). In strumental goals include existence and properties of waves as mentioned above. In particular, waves with non-constant vorticity and multiple critical layers (induced by multiple stagnation points) are only partially understood; and after half a century it is still not known whether the Whitham equation (or any of its close non-local kin) admits a highest cusped wave.