Special Geometries

Slik geometri i planet skiller seg fra geometri på kuleflaten, er der i høyere dimensioner et mangfold av ulike geometrier. Noen av disse brukes til å beskrive og forklare grunnleggende lover i fysikk. I dette prosjektet bruker vi spesielle geometrier til å skjelne mellom og finne nye algebraiske og differensiable mangfoldigheter og til å utvikle motivisk og stabil homotopi teori som analyseverktøy for topologien til slike mangfoldigheter. I løpet av prosjektet har vi funnet nye 4- og 6-dimensionale HyperKähler mangfoldigheter, nef kurveklasser som ikke er pseudoeffektive og vist at Koras-Russel trefoldigheter er A1- kontraktible. På teorisiden vil vi spesielt nevne to bidrag i algebraisk K-teori. Det første er utviklingen av sporavbildningen til Connes, Bökstedt, Hsiang og Madsen, slik at den kan anvendes i klassifikasjonen av en mye større klasse av mangfoldigheter enn den opprinnelig kunne. Det andre er bevis for versjoner av Beilinson Lichtenbaum formodningen i motivisk kohomology, som også utvider verktøykassa i klassifikasjon av mangfoldigheter.

Prosjektet oppnådde en revitalisering av de to forskningsgruppene i algebra/algebraisk geometri og geometri/topologi, både i form nyrekruttering av faste medarbeidere og en utvidelse av forskningsaktiviteteten til differensialgeometri. Prosjektet har lagt grunnlaget for nye satsinger med bidrag fra NFR og BFS i form av tre eksternt finansierte prosjekter som inkluderer ansettelse både av nye faste medarbeidere og en rekke PhD-er og postdocer. Samlet ser de to gruppene som danner en seksjon ved Matematisk Institutt en klar økning og fornying av sin forskningsaktivitet. Antall resultatindikatorene i prosjekter ligger godt over de forventede tallene ved starten av prosjektet.

The algebraic geometry and topology groups at UiO want to intensify research on special geometries, their applications to the classification of varieties and manifolds and to stable and motivic homotopy theory. The scientific program is divided in three work packages: -Projective models of hyperkähler and Calabi Yau varieties -Algebraic K-theory and stable homotopy theory -Motivic invariants for group schemes and stacks With new recruitments we aim at extending this list into the area of symplectic, complex or Kähler geometry.