FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek

Geometry handler om å studere rom og deres form. Et rom kan være en kule, sylinder eller en ellipsoide, men det kan også være et stort datasett eller samlingen av alle bevegelsene en robot kan gjøre. Geometri kan være nyttig i alle disse eksemplene, så lenge det er en måte å definere en avstand, det vil si en måte å gi et tall som sier hvor forskjellig et element er fra et annet. Vanligvis vil det ikke være mulig å tegne slike rom, men med matematikk kan vi ta ideene våre fra rom vi kan se for oss og bruke det på rom som ligger utenfor det vår forestillingsevne. Dette prosjektet fokuserer på å bruke geometri på PDEer og sannsynlighetsteori. En partiell differensialligning (partial differential equation = PDE) beskriver sammenhengen den nåværende tilstanden til et objekt og hvordan det vil endre seg i fremtiden. Disse ligningene er grunnleggende for det meste av fysikk, meteorologi og økonomi, men er også blant de mest kompliserte å løse. De er også sentrale i sannsynlighetsteori, siden de beskriver forventet oppførsel av aksjepriser, støysignaler og av andre tilfeller med tilfeldig oppførsel. En måte å håndtere en vanskelig PDE er å overføre noe av kompleksiteten til rommet hvor ligningen er definert. I stedet for å ha en vanskelig ligning i et lett rom, så kan vi se på det som en lett ligning i et komplisert rom. Med andre ord, vi får et rom som bøyer seg, på samme måte som vårt rom bøyer seg rundt stjerner og svarte hull. Vi kan da studere rommet for å finne egenskaper til løsningen av ligningen uten å faktisk måtte løse den. For å gi litt mer detaljer, så fokuserer dette prosjektet på rom som bøyer seg hvor det også er begrensninger på hvordan noe kan bevege seg. Slike rom med forbudte retninger kalles sub-Riemannske og dukker opp i robotikk, rekonstruksjon av bilder og finans. Gjennom resultater fra dette prosjektet har vi nå en dypere forståelse av formen på slike rom. For det første har vi funnet et sammenligningsresultat for sub-Laplace operatoren. Dette er operatoren som vi finner i PDEen som er relatert til sub-Riemannske rom. Resultatet vårt viser hvor langt vi kan forvente at en partikkel med tilfeldig bevegelse vil være fra sin opprinnelige posisjon etter gitt tid. Vi kan også estimere størrelsen på rommet vårt og hvor mye vårt roms "rette linjer" sprer seg. Hvis vi forsetter litt med disse rette linjene i andre geometrier, det vi egentlig mener er curves fra et punkt til et annet som er så korte som mulig. Disse kurvene kan bøye seg, men bare for å ikke gå ut av rommet de er i. Hvis vi forstår slike kurver kan vi dermed "føle" formen til rommet vår med dem. Dessverre var den eneste tilgjengelige metoden for å gjøre dette i sub-Riemannsk geometri veldig komplisert. Et av hovedresultatene fra prosjektet er at vi har funnet en enklere måte å finne krumningen fra kurvene med minimal lengde. Vi har også gitt et resultat som ser på den prinsipale egenverdien til sub-Laplace operatoren ved å bruke informasjon fra geometri. Egenverdier kan ses på som "tonene" til en ligning og vi bruke disse tonene til å "komponere" en løsning. Den minste egenverdien som ikke er null kalles prinsipal og er den som betyr mest for oppførselen til løsningen. Videre har vi funnet resultat som knytter måten rommet bøyer seg på til dets topologi. Topologi er studiet av de mest grunnleggende egenskapene til et rom, som hvilke hull det har, og våre resultat viser at hvis vi kjenner krumningen, kan vi også begrense hvilke typer hull et rom har. Til slutt vil vi nevne et resultat som knytter sammen krumning og funksjoner av flere tilfeldige variabler, som et finansverktøy som avhenger av kursen til en aksje til flere ulike tider. Vi viser at hvis det er begrenset hvor mye rommet vårt kan bøye seg, da har vi også kontroll på hva det forventede utfallet av disse funksjonene vil være. Prosjektet er basert på samarbeid med forskere i Frankrike, Norge, Luxemburg, USA, Japan, Kina og Chile.

The project has been successful in its main goal of investigating a class of spaces called sub-Riemannian. Better understanding of how such spaces bend or curve can be used to predict solutions of many complicated processes appearing in vision theory, robotics and finance, including equations where some of the variables are random. For a wide class of equations which we are not able to solve explicitly, we are now able to find conditions for when they conserve mass and describe their long-time behavior, just using the information of the curvature. We also established equivalence between bounds on rate-of-change of functions depending on a random variable at different times and curvature bounds on a corresponding space. The project has also provided many local-to-global results, that is, result where conditions on curvature gives information on things we can only see when zoomed out such as the type of holes, if it closes in on itself and what the maximum distance between to points is.

The project will fund a 3-year post-doc for E. Grong to work with professors Chitour and Pansu of Université Paris Sud and professors Marikina and Vasiliev of University of Bergen. The research involves geometry, probability theory and PDEs, with the main focus on geometry. To understand the idea of the project, one may think of how temperature is distributed around a room. Heat tends to go from places of high temperature to places of lower temperature, giving us a relation between the temperature now in different parts of the room and how it will change. A mathematical equation describing how something will change is called a partial differential equation or PDE for short. The there is a simple PDE describing how temperature changes, even though temperature is actually the average of something quite complicated. What we feel as temperature is the average speed of molecules in the air, and these are constantly colliding, moving unpredictably and are best described using probability theory. Surprisingly, the same principal holds true for stock prices, noise on signals and many other cases where something changes randomly in time; individual behavior is best described by probability theory, while average behavior is determined by a PDE, although the PDE in these cases may not be as simple as in the first example. Here is where geometry comes in. Many complicated PDEs can be turned into the simpler "room-temperature" problem with our room being a little strange. We must allow the room to bend, similar to how space bends around stars and black holes. By then studying how this room bends, we can understand the PDE and average random behavior better. In this way, probability theory, PDEs and geometry are all related. The focus of this research project is to study such strange rooms where there are some additional restrictions on the microscopic movement. Such rooms are called sub-Riemannian spaces and occur in robotics, image reconstruction and finance.