Representation theory via subcategories

Den grunnleggende utfordringen i representasjonsteori er den følgende: Gitt en ring, finn alle moduler over denne ringen. Mange klassifikasjonsproblemer for abelske grupper eller vektorrom med noe struktur i tillegg kan oversettes til dette språket. For eksempel, det å finne normalformer for kvadratiske matriser kan anses som å finne alle endligdimensjonale moduler over en polynomring. I dette tilfellet vet vi at svaret er gitt ved Jordannormalformen, om vi ser på komplekse skalarer. Uheldigvis viser det seg at mange lignende problemer med flere matriser ikke kan løses på en like overbevisende måte. Faktisk kan man vise at polynomringen i to (eller flere) ukjente er "vill", som er forstått til å bety at det er umulig å oppnå en klassifikasjon av alle (endligdimensonale) moduler. Ideen som det skal følges i dette prosjektet er å se på gode underkategorier av modulkategorier, som, på den ene siden, inneholder nok av strukturen for å gi et inntrykk av hvordan hele kategorien oppfører seg, samtidig som de på den andre siden er små nok for å kunne forstås. Det største framskrittet innenfor prosjektet har blitt gjort med i et representasjonsteoretisk oppsett som er nært knyttet geometri: I et fellesprosjekt med Herschend, Iyama og Minamoto har prosjektlederen introdusert og undersøkt "Geigle-Lenzing projektive rom". For disse rom (og visse tilknyttede algebraer) forklarer vi hvordan kategoriene av koherernte knipper inneholder pene, strukturelle underkategorier. For de beste tilfellene kan leseren tenke at disse består av alle linjebunter. Å studere disse underkategorier fører også til for eksempel å finne deriverte ekvivalenser, og å finne ikke-kommutative crepant-oppløsninger. En mer kategori-teoretisk tilnærming til samme tema er studert i Lerner-Oppermann, "A recollement approach to Geigle-Lenzing weighted projective varieties". En annen type "fine underkategorier" har dukket opp i Oppermann-Psaroudakis-Stai "Change of rings and singularity categories". Her la vi merk til at visse objekter, som vi kaller for "0-kokompakt", ofte kontrollerer triangulerte kategorier på en viss måte. I følgearbeidet "Partial Serre duality and cocompact objects" undersøker vi dette fenomenet mer systematisk. Den nyeste typen underkategorier som ble studert kommer fra en praktisk anvendelse: Toplogisk dataanalyse. Tanken med dette feltet er å gjøre et gitt datasett om til en representasjon, og ved å analysere denne representasjonen utlede strukturen i et topologisk rom som ligger til grunn for dataen. Når man studerer sammenhengskomponenter så viser det seg at man studerer representasjoner der visse strukturavbildinger er epimorfismer. I Bauer-Botnan-Oppermann-Steen "Cotorsion torsion triples and the representation theory of filtered hierarchical clustering" studerer vi underkategorien gitt av slike representasjoner. Dessverre viser det seg at underkategorien kun i noen få tilfeller la seg beskrive helt eksplisitt, mens den generelt også vil være "vill". Det er flere naturlige underkategorier (for eksempel intervall dekomponerbare moduler), som vi fortsetter til å studere strukturen av etter prosjektets avsluttning.

De to postdocene i prosjektet har utviklet seg fra phd-studenter til selvstendige forskere i løpet av prosjektet. En av dem jobber på et eget forskningsprosjekt nå. Samarbeid med det internasjonale miljøet i høyere representasjonsteori, spesielt Osamu Iyama, ble forsterket i løpet av prosjektet. Ny tverfaglig samarbeid mellom representasjonsteori og topologisk data-analyse har oppstått under prosjektet. Vi håper og forventer at det samarbeidet vil føre til mange nye resultater i framtida.

In many situations in representation theory it is not possible to classify all (indecomposable) representations. Even when this is possible, the Auslander-Reiten quiver (usually the strongest tool available for getting an intuitive picture of a module category) will typically only carry limited information in infinite situations. The idea to be pursued in the project here is to study certain nice subcategories of a module category, which on the one hand are structural enough to give a picture of how the entire category looks, but on the other hand are simple enough to understand. Motivating examples include the cluster tilting module for a 2-representation finite algebra, or (for people with a more geometric mind set) the subcategory of line bundles inside all vector bundles on projective d-space. One (semi-classical) example that is both inspiration for and integral part of the project is the concept of cluster tilting: For 2-Calabi-Yau triangulated categories this concept gives a way to understand "most" of the category by knowing only (the endomorphism ring of) a single object. Starting from classical cluster tilting theory, the project aims to explore various facets of "higher dimensional representation theory": This concept, first developed by and with Iyama has seen rising interest the last years. The idea is that one studies categories which, instead of containing short exact sequences (or triangles) have a structure determined by longer exact sequences (or (d+2)-angles). Often interesting examples arise as cluster tilting subcategories of usual abelian (triangulated) categories, and there are various instances where this higher representation theory of a subcategory draws a clearer picture of what is happening than the study of the entire category.