Pseudo-Riemannian Geometry and Polynomial Curvature Invariants: Classification, Characterisation and Applications

For over hundre år siden revolusjonerte Albert Einstein måten vi så på gravitasjon. Med Einstein ble gravitasjon en geometrisk teori i en såkalt Lorentz geometri. Den gravitasjonelle vekselvirkningen var essensielt redusert til krumning av rommet hvor materie (inkludert oss) beveget oss langs geodeter. Det har blitt brukt mye tid på å finne eksakte løsninger til Einsteins ligninger og klassifisering av slike løsninger. En av problemene er at det samme rommet kan oppføre seg vesentlig forskjellig for forskjellige observatører. For eksempel, tidsdilatasjon et er slikt fenomen hvor forskjellige observatører som beveger seg i forhold til hverandre observerer forskjellige tidsintervaller. For å unngå slike problemer så kan en regne ut invarianter som er uavhengige av observatører og synspunkt. I dette prosjektet ser vi på invarianter som er konstruert i fra krumningen, nemlig såkalte polynomske krumningsinvarianter. Det er kjent at slike krumningsinvarianter ikke kan skille fullstending mellom alle rom da det finnes ulike rom med identiske krumningsinvarianter. Et eksempel på dette er de gravitasjonelle planbølgeløsningene som nettopp har en slik egenskap: forskjellige planbølgeløsninger har identiske krumningsinvarianter. Målet med dette prosjektet er å studere disse polynomske krumningsinvariantene og klassifisere alle de rommene som har denne degenererte egenskapen: vi skal klassifisere de rommene som ikke kan skilles fra hverandre ved bare å se på krumningsinvariantene. Dette prosjektet ser på Lorentz tilfellet såvel som det mer generelle pseudo-Riemannske tilfellet (hvor det er flere enn en "tidsretning"). Prosjektet kombinerer metoder i fra andre grener av matematikken, deriblant Lie-gruppeteori, reell geometrisk invariant teori og differensialgeometri. Blant annet har vi funnet en ny type symmetrier som spiller en vesentlig rolle for disse degenerete rommene, nemlig symmetrier generert av nil-Killing vektorfelt. Så langt har vi knyttet såkalte Wick-rotasjoner opp mot rom som har identiske krumningsvarianter. Disse Wick-rotasjonene spiller en vital rolle for disse forskjellige rommene og forbinder rom med forskjellig signatur og forbinder egenskapene til slike på en ny måte. Strukturen på slike Wick-roterte rom har blitt undersøkt og konkrete betingelser når slike rom med identiske invarianter er Wick-roterte har blitt gjort. Spesielt interesant er Lorentz-tilfellet hvor vi har fullstendig beskrevet en spesiell type rom (type D^k-rom). Disse har alle blitt bestemt og kan generaliseres til å gi klasser av tidrom med identiske invarianter. I tillegg studerer vi universelle løsninger til felt-ligningene, det vil si løsninger til hvilke-som-helst teorier for gravitasjon. Slike universelle løsninger er derfor løsninger til en hel klasse av forskjellige teorier. Dette begrepet har også blitt utvidet til å se på svarte hull-løsninger hvor disse svarte hullene er nettopp "universelle". Dette gir et innblikk i hvordan en kan finne løsninger som ikke nødvendigvis er standard svarte hull.

-Determined various condition for Wick-rotatable metrics. -Investigated universal metrics. -Formalised the Kundt structure using a GN-structure. -Introduced and investigated the concepts of Nil-Killing vectors and I-preserving diffeomorphisms. -Investigated pseudo-Riemannian metrics being I-degenerate.

The project aims to connect aspects of real Geometric Invariant Theory and pseudo-Riemannian geometry. In particular, the project will investigate the relationship between the scalar polynomial curvature invariants and the pseudo-Riemannian metric. For some metrics, all the (local) information of the metric is given, at least in principle, in the polynomial curvature invariants; i.e., they are characterised by their invariants. However, other metrics are degenerate in the sense that many metrics have the same value of their invariants. This project has a goal to classify all spaces not being characterised by the invariants and will thus provide a better understanding of the interrelation between the set of curvature scalar invariants and the metric for pseudo-Riemannian geometries. Specifically, the project has the following main goals: - Classify the pseudo-Riemannian spaces for which the polynomial curvature invariants do not characterise the metric. - Classify the metrics that have a degenerate structure in the sense that a continuous family of metrics have the same set of invariants. In order to achieve this we will implement tools from real invariant theory by analysing the orbit spaces of linear algebraic groups. These results will then be applied to the curvature tensors of pseudo-Riemannian geometries, leading to algebraic conditions on the curvature tensors when such degeneracy occurs. Next step is to integrate these conditions to obtain canonical forms for the metric in these degenerate cases. We will also use the results for various applications in mathematics and mathematical physics and thereby shed new light on the importance of polynomial invariants in these areas. These applications include holonomy, analytic continuations of metrics, and exact solutions.