Tilbake til søkeresultatene

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek

Irregularity and Noise In Continuity Equations

Alternativ tittel: Irregularitet og støy i kontinuitetsligninger

Tildelt: kr 8,0 mill.

Partielle differensialligninger (PDEer) dukker opp i modelleringen av et stort antall naturfenomener, slik som luftflyt i atmosfæren; vannbølger over havet; elektriske signaler i et kretskort; og til og med den kollektive oppførselen til store flokker dyr, som f.eks. fugler, fisk eller mennesker. Gitt data om den nåværende tilstanden til systemet, vil løsningen av PDEen fortelle oss om systemets framtidige oppførsel. For en gitt PDE og én eller annen klasse av inndata, er matematikerens oppgave å bedømme hvorvidt løsningen finnes, om den er unik, hva dens kvalitative egenskaper er, og om den kan beregnes, enten i eksakt eller tilnærmet forstand. Vi vet at mange viktige PDEer lider av ikkeunikhet - PDEen kan forutsi flere forskjellige utfall for den samme inndataen. Vi trenger da et utvalgsprinsipp som peker ut den fysisk korrekte løsningen fra mengden av løsninger. Slike utvalgsprinsipp har med stort hell vært brukt for mange klasser av PDEer, men for andre (hvorav kanskje den viktigste er Euler-ligningene som modellerer gassflyt) kjenner vi ingen utvalgsprinsipper som er i stand til systematisk å velge ut én og bare én "korrekt" løsning. Målet til prosjektet Irregularitet og støy i kontinuitetsligninger (INICE) er å fremme forståelsen av utvalgsprinsipper for PDEer, mer spesifikt for såkalte kontinuitetsligninger. I prosjektets første fase har vi studert nullstøygrensen for stokastiske (ordinære) differensialligninger og funnet enkle betingelser som gjør oss i stand til å identifisere nullstøygrensen, hvilke løsninger som velges ut av denne utvalgsprosedyren, og hvordan hver av dem vektes.

Partial differential equations (PDEs) are ubiquitous in engineering and the applied sciences, and a major mathematical challenge lies in proving that they are well-posed -- that solutions exist and are unique. However, a large class of PDEs are ill-posed, and selection criteria are required in order to single out a unique, physically reasonable solution. For important equations for gas dynamics such as the Euler and Navier-Stokes equations, no such selection criteria are known. This situation is in contrast with many stochastic PDEs (SPDEs) -- equations that also include the effect of noise -- which are often well-posed under very mild conditions. The general idea that a PDE can be well-posed with noise, but ill-posed without, opens up the possibility of using noise as a selection mechanism for deterministic PDEs by adding a small amount of noise to the deterministic PDE and studying the zero-noise limit of the resulting SPDE. The main goal of the project Irregularity and Noise In Continuity Equations (INICE) is to characterize the zero-noise limit for several linear and nonlinear PDEs, including certain linear transport/continuity equations, nonlinear hyperbolic conservation laws and nonlinear, nonlocal conservation laws. In the process we develop techniques that in the long run can be applied to problems including mixing of scalar tracers in irregular velocity fields and deterministic, turbulent flows such as the compressible Euler equations. We will develop, analyze and implement efficient numerical methods which can approximate small-noise stochastic PDEs and the zero-noise limit. These methods will be applied both to complement theoretical results and to analyze equations that are outside the reach of theoretical tools.

Publikasjoner hentet fra Cristin

Ingen publikasjoner funnet

Ingen publikasjoner funnet

Ingen publikasjoner funnet

Ingen publikasjoner funnet

Budsjettformål:

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek