Tilbake til søkeresultatene

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek

Gabor frames, operator algebras, and quasicrystals

Alternativ tittel: Gaborrammer, operatoralgebraer og kvasikrystaller

Tildelt: kr 3,6 mill.

En av de vanligste teknikkene i signalbehandling er å representere et periodisk signal som en sum av sinusbølger. For signaler som ikke er periodiske, for eksempel et stykke musikk, trenger man mer omfattende metoder. En løsning er å representere slike signaler ved hjelp av Gaborrammer. En slik representasjon vektlegger frekvensinnholdet til et signal i hvert enkelt tidspunkt, ikke ulikt måten vi skriver musikk på ved hjelp av notesystemet. I konstruksjonen av en Gaborramme er det nødvendig å spesifisere en punktmengde i tidsfrekvensplanet. I tilfellet der denne punktmengden er et gitter, får Gaborrammer en dualitet som har dype relasjoner til operatoralgebraer og representasjonsteorien for grupper. For irregulære punktmengder er denne sammenhengen mindre klar. Dette prosjektet er dedikert til å utvikle en teori som relaterer operatoralgebraer og Gaborrammer over en klasse irregulære punktmengder kjent som kvasikrystaller. Et av hovedmålene er å bevise eksistensresultater for Gaborrammer over kvasikrystaller som generaliserer de kjente resultatene for gittere.

In mathematics and signal processing, Gabor frames are structured function systems that allow for basis-like representations of functions in one or several real variables. A Gabor frame is constructed from a window function and a point set in the time-frequency plane. The fundamental problem that we will study in this project is the following: Which point sets admit Gabor frames, possibly with additional regularity assumptions on the window function? We have three main objectives: A: Determine when a lattice point set admits a Gabor frame with a well-localized window. B: Study the existence of Gabor frames over quasicrystals in the time-frequency plane. C: Study objectives A and B in the general setting of frames in the orbit of unitary group representations sampled from approximate lattices. Techniques from operator algebras have been highly successful in answering existence questions for Gabor frames over lattices as seen by the work of Bekka, Rieffel and Jakobsen-Luef. In Objective A, we aim to resolve an open problem using Rieffel's Heisenberg modules over rational noncommutative tori and higher-dimensional Zak transforms. The significant challenge here will be to obtain a transparent description of the modules in terms of vector bundles. In Objective B, we use groupoids and their operator algebras to approach Gabor frames over quasicrystals as initiated in a paper by Kreisel. In Objective C we study the extent to which our methods generalize, establishing connections to new developments on approximate lattices for locally compact groups. A challenging task will be to construct operator algebras associated to approximate lattices that generalize group algebras.

Aktivitet:

FRINATEK-Fri prosj.st. mat.,naturv.,tek